1. Dada a função f(x)=2 sen x+cos (2 x), com -pi <= x <= pi, determine:
    (a) os números críticos de f;
    (b) os valores máximos e mínimos absolutos de f, no intervalo dado.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2sin x+cos(2x)
no domínio -pi<= x<=pi, e pede (a) os números críticos de f e (b) os valores máximos e mínimos absolutos de f nesse intervalo. Vamos usar derivada para encontrar pontos críticos e, em seguida, comparar os valores de f nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(2sin x+cos(2x)r) =2cos x-2sin(2x)
Como sin(2x)=2sin xcos x, segue
f'(x)=2cos x-4sin xcos x =2cos xl(1-2sin xr)
Os números críticos satisfazem f'(x)=0, logo
2cos x,(1-2sin x)=0 Longrightarrow cos x=0 ou sin x=tfrac12

Passo 3

Resolvendo em [-pi,pi]:
  • cos x=0implies x=pmpi2
  • sin x=tfrac12implies x=pi6 ou x=5pi6
    Assim os pontos cr’iticos s~ao
x=-pi2, x=pi2, x=pi6, x=5pi6

Passo 4

Agora avaliamos f nesses pontos e nas extremidades x=-pi e x=pi:
f(pmpi)=2sin(pmpi)+cos(2pi)=0+1=1,
fl(tfracpi2r)=2cdot1+cos(pi)=2-1=1,
fl(-tfracpi2r)=2cdot(-1)+cos(-pi)=-2-1=-3,
fl(tfracpi6r)=2cdottfrac12+cosl(tfracpi3r) =1+tfrac12=tfrac32,
fl(tfrac5pi6r)=2cdottfrac12+cosl(tfrac5pi3r) =1+tfrac12=tfrac32

Passo 5

Comparando os valores: o menor valor obtido é -3 em x=-tfracpi2, e o maior é tfrac32 em x=tfracpi6 e x=tfrac5pi6.

Resposta

(a) Os números críticos são
x=-tfracpi2, x=tfracpi2, x=tfracpi6, x=tfrac5pi6
(b) O valor mínimo absoluto é -3 em x=-tfracpi2, e o valor máximo absoluto é tfrac32 em x=tfracpi6 e x=tfrac5pi6.

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