Encontre os raios de convergência das séries:
sumn=1^+infty (-1)^n cdot 1 cdot 3 cdot 5 ldots(2 n-1) x^n2 cdot 4 cdot 6 ldots(2 n)

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-1)^n,l(1cdot3cdot5cdots(2n-1)r)2cdot4cdot6cdots(2n),x^n
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência R.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral
an ;=; (-1)^n,1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
Sabemos que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n! e 2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n,n!,
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an =;(-1)^n,(2n)!2^nn!2^nn! =;(-1)^n,(2n)!4^n,(n!)^2 =;(-1)^n,binom2nn4^n

Passo 3

Usamos o teste da razão:
L ;=;limntoinftyl|an+1,x^,n+1an,x^nr| =limntoinftyl|an+1anr|;l|xr|
Calculando a razão dos coeficientes:
l|an+1anr| =binom2n+2,n+1/4^,n+1binom2nn/4^n =binom2n+2,n+1binom2nn;14 =4n+24n+4 ;xrightarrow[ntoinfty];1
Portanto
L=limntoinfty1cdot|x| = |x|
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja |x|<1.

Resposta

O raio de convergência é
R = 1

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