Observaçōes
a. Todas as questōes devem conter hipoteses explicitadas.
b. Todas as questōes devem conter equacionamento detalhado.
c. Todas as questōes devem ser comentadas e resultados comparados.
Considere um escoamento laminar num anel, isto é, numa folga entre cilindros concêntricos. O gradiente de pressão é -10 kPa / m, a viscosidade 0,1 Pa s e os raios interno e externo 1 e 5 mm , respectivamente. Qual a taxa volumétrica? Quais as velocidades média e máxima?
(2,5ptos)

Passo 1

Resumo do problema: temos escoamento laminar, incompressível e totalmente‐desenvolvido em uma folga circular entre dois cilindros concêntricos (raio interno ,mm e raio externo ,mm). O gradiente de pressão é constante e vale ,kPa/m e a viscosidade dinâmica ,Pa·s.
Conteúdo: resolver a equação de momento em coordenadas cilíndricas para fluxo anular (Poiseuille anular), obter o perfil de velocidade , a vazão , a velocidade média e a velocidade máxima .
Hipóteses (sempre explicitar):
  1. Escoamento estacionário e incompressível.
  2. Totalmente‐desenvolvido ( em ).
  3. Eixo‐symmetric, só há componente axial .
  4. Condições de não‐deslizamento: .

Passo 2

Equação de momento em z (cilíndricas, sem inércia, regime laminar):
0 ;=; -dPdz ;+;mu;1rddrl(r,dvdrr)
Defina 1rddrl(r,v'r)=Gmu,r, ,Pa/m.
Então
r,v'=integral Gmu,r^2,dr + C1 Longrightarrow v'=G2mu,r + C1r
onde v(r) =G4mu,r^2 + C1ln r + C2 .
Multiplicando por v(R1)=0: & G,R1^24mu+C1ln R1 + C2=0, v(R2)=0: & G,R2^24mu+C1ln R2 + C2=0 e integrando:
C1 =G4mu;R2^2-R1^2ln(R2/R1)
Integre de novo para achar C2 =-,G,R1^24mu ;-,C1ln R1 :
v(r) =G4mul(r^2-R1^2r) +G4mu,R2^2-R1^2ln(R2/R1);ln!l(rR1r)
Aplique as condições de contorno:
Subtraindo-as, obtém-se
E, por exemplo, de vem
Logo o perfil completo é

Passo 3

Vazão volumétrica Q=integralR1^R22pi,r,v(r),dr pela integral
Q =pi,G8,mu! l[R2^4-R1^4 -(R2^2-R1^2)^2ln(R2/R1)r]
O resultado padrão para folga anular é

Passo 4

Cálculo numérico. Primeiro as grandezas em SI:
R1=1times10^-3,m, R2=5times10^-3,m, G=10,0times10^3,Pa/m, mu=0,1,Pacdot s
Compute:
R2^4-R1^4=624times10^-12,m^4, R2^2-R1^2=24times10^-6,m^2, ln!R2R1=ln5approx1,609
Então
Q =picdot10^48cdot0,1, l(624-357,9r)times10^-12 approx1,05times10^-5,m^3/s
Área da folga vrm m=QA approx1,05times10^-524pitimes10^-6 approx0,14;m/s ,m²
→ velocidade média

Passo 5

Máximo de rmax^2 =R2^2-R1^22ln(R2/R1) ;Longrightarrow;rmaxapprox2,73;mm : derive vmax=v(rmax) approx0,21;m/s . Isso dá
Substitua em e encontra

Resposta

Vazão ,m³/s;
velocidade média ,m/s;
velocidade máxima ,m/s.

Exercícios relacionados