Para um observador inercial
, o movimento de uma partícula é descrito por
(em unidades de metros e
em seguntos). Um outro observador
vê o movimento da mesma partícula, só que através do seguinte vetor posição
(em unidades de metros e
em seguntos).
a) Qual deve ser a velocidade do observador
em relação ao observador
?
b) O observador
é também inercial ? Explique.
a) Qual deve ser a velocidade do observador
b) O observador
Passo 1
O enunciado fornece as posições da mesma partícula medidas por dois observadores distintos e pede:
- (a) Qual deve ser a velocidade do observador
em relação ao observador . - (b) Se o observador
também é inercial, com justificativa.
Informações dadas (todas em unidades padrão: metros e segundos):
Observações importantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
- A posição da mesma partícula é dada em duas descrições distintas
e . - O enunciado afirma explicitamente que o observador
é inercial. - Precisaremos relacionar as posições/velocidades medidas pelos dois observadores para obter a velocidade relativa de
em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar (aqui é o momento de aprender a ferramenta que usamos) a relação entre as posições em transformações não relativísticas (Galileanas), que é a hipótese natural para problemas clássicos não relativísticos.
Regra útil (Galileana): se dois observadores têm movimento relativo com velocidade constante
(velocidade de
em relação a
), e se houver um deslocamento inicial entre as origens
no instante
, as coordenadas relacionam-se por
Explicação do porquê: imagine
se deslocando com velocidade
em relação a
. Após tempo
a origem de
se deslocou em
em relação à origem de
; portanto, a posição da partícula medida por
é a posição medida por
menos esse deslocamento (e menos qualquer diferença de origem em
, isto é
).
Passo 3
Diferenciando a relação da Passo 2 em relação a
obtemos a relação entre as velocidades medidas nos dois referenciais. Como
é constante, sua derivada é zero, então
Denotando
e
, temos a relação
Isto é muito prático: se
for constante, as velocidades dos dois observadores diferem por uma constante. Se, ao calcular
, encontrarmos algo que dependa de
, então
não pode ser constante.
Passo 4
Calculemos explicitamente as velocidades derivando as posições dadas.
Derivada de
:
Calculando termo a termo:
Portanto
Derivada de
:
Calculando termo a termo:
Portanto
Passo 5
Usando a relação
, isolamos
:
Substituindo as expressões de
e
:
Fazendo as subtrações componente a componente:
Simplificando:
Interpretação: a velocidade que faria as velocidades medidas pelos dois observadores coincidir seria dada por
. Note que
depende de
.
Passo 6
Vamos entender a consequência física desse resultado para a questão (b).
Definição prática de referencial inercial (no contexto clássico): dois referenciais são inerciais entre si se a velocidade relativa entre eles for constante (sem dependência temporal) — isto é, um se move com velocidade constante em relação ao outro. Em termos das fórmulas acima, isso equivaleria a
ser constante (independente de
).
Aqui encontramos
, cuja componente na direção
é
, claramente dependente de
. Logo a velocidade relativa não é constante.
Como o enunciado já dizia que
é inercial, a consequência lógica é que
não pode ser inercial: se
é inercial e O’ estivesse se movendo com velocidade não-constante em relação a
, então
seria um referencial acelerado (não-inercial).
Passo 7
(Treino/checagem adicional: comparando acelerações) Para reforçar a conclusão, calculemos as acelerações medidas nos dois referenciais e compare-as.
Aceleração em
:
Aceleração em
:
Diferença:
Em transformações galileanas entre referenciais inerciais as acelerações de uma partícula são iguais em ambos os referenciais (pois
é constante e sua segunda derivada é zero). Aqui as acelerações diferem, confirmando que
não é inercial.
Resposta
(a)
\n
(b) Não. O observador não é inercial, pois a velocidade relativa encontrada depende de
(logo há aceleração relativa) e as acelerações medidas nos dois referenciais são diferentes.
(b) Não. O observador