Para um observador inercial O, o movimento de uma partícula é descrito por \vec{r}(t)= 5 t^{3} \hat{i}+2 t \hat{j}-\hat{k} (em unidades de metros e t em seguntos). Um outro observador O^{\prime} vê o movimento da mesma partícula, só que através do seguinte vetor posição \vec{r}^{\prime}(t)=7 t^{3} \hat{i}+\hat{j}-t \hat{k} (em unidades de metros e t em seguntos).
a) Qual deve ser a velocidade do observador O em relação ao observador O^{\prime} ?
b) O observador O^{\prime} é também inercial ? Explique.

Passo 1

O enunciado fornece as posições da mesma partícula medidas por dois observadores distintos e pede:
  • (a) Qual deve ser a velocidade do observador O em relação ao observador O'.
  • (b) Se o observador O' também é inercial, com justificativa.
Informações dadas (todas em unidades padrão: metros e segundos):
\vec{r}(t)=5t^{3}\,\hat{i}+2t\,\hat{j}-\hat{k}
\vec{r}^{\prime}(t)=7t^{3}\,\hat{i}+\hat{j}-t\,\hat{k}
Observações importantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • A posição da mesma partícula é dada em duas descrições distintas \vec{r}(t) e \vec{r}^{\prime}(t).
  • O enunciado afirma explicitamente que o observador O é inercial.
  • Precisaremos relacionar as posições/velocidades medidas pelos dois observadores para obter a velocidade relativa de O em relação a O'.

Passo 2

Vamos lembrar (aqui é o momento de aprender a ferramenta que usamos) a relação entre as posições em transformações não relativísticas (Galileanas), que é a hipótese natural para problemas clássicos não relativísticos.
Regra útil (Galileana): se dois observadores têm movimento relativo com velocidade constante \vec{u} (velocidade de O em relação a O'), e se houver um deslocamento inicial entre as origens \vec{r}_0 no instante t=0, as coordenadas relacionam-se por
\vec{r}^{\prime}(t)=\vec{r}(t)-\vec{u}\,t-\vec{r}_0.
Explicação do porquê: imagine O' se deslocando com velocidade \vec{u} em relação a O. Após tempo t a origem de O' se deslocou em \vec{u}t em relação à origem de O; portanto, a posição da partícula medida por O' é a posição medida por O menos esse deslocamento (e menos qualquer diferença de origem em t=0, isto é \vec{r}_0).

Passo 3

Diferenciando a relação da Passo 2 em relação a t obtemos a relação entre as velocidades medidas nos dois referenciais. Como \vec{r}_0 é constante, sua derivada é zero, então
\frac{d\vec{r}^{\prime}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}-\vec{u}.
Denotando \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} e \vec{v}^{\prime}(t)=\dfrac{d\vec{r}^{\prime}}{dt}, temos a relação
\vec{v}^{\prime}(t)=\vec{v}(t)-\vec{u}.
Isto é muito prático: se \vec{u} for constante, as velocidades dos dois observadores diferem por uma constante. Se, ao calcular \vec{v}(t)-\vec{v}^{\prime}(t), encontrarmos algo que dependa de t, então \vec{u} não pode ser constante.

Passo 4

Calculemos explicitamente as velocidades derivando as posições dadas.
Derivada de \vec{r}(t):
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(5t^{3}\big)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}\big(2t\big)\,\hat{j}+\frac{d}{dt}\big(-1\big)\,\hat{k}.
Calculando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(5t^{3}\big)=15t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\big(2t\big)=2,\qquad \frac{d}{dt}\big(-1\big)=0.
Portanto
\vec{v}(t)=15t^{2}\,\hat{i}+2\,\hat{j}+0\,\hat{k}.
Derivada de \vec{r}^{\prime}(t):
\vec{v}^{\prime}(t)=\frac{d\vec{r}^{\prime}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(7t^{3}\big)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}\big(1\big)\,\hat{j}+\frac{d}{dt}\big(-t\big)\,\hat{k}.
Calculando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(7t^{3}\big)=21t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\big(1\big)=0,\qquad \frac{d}{dt}\big(-t\big)=-1.
Portanto
\vec{v}^{\prime}(t)=21t^{2}\,\hat{i}+0\,\hat{j}-1\,\hat{k}.

Passo 5

Usando a relação \vec{v}^{\prime}(t)=\vec{v}(t)-\vec{u}, isolamos \vec{u}:
\vec{u}=\vec{v}(t)-\vec{v}^{\prime}(t).
Substituindo as expressões de \vec{v}(t) e \vec{v}^{\prime}(t):
\vec{u}= \big(15t^{2}\,\hat{i}+2\,\hat{j}+0\,\hat{k}\big) - \big(21t^{2}\,\hat{i}+0\,\hat{j}-1\,\hat{k}\big).
Fazendo as subtrações componente a componente:
\vec{u}=(15t^{2}-21t^{2})\,\hat{i} + (2-0)\,\hat{j} + (0-(-1))\,\hat{k}.
Simplificando:
\vec{u}=-6t^{2}\,\hat{i}+2\,\hat{j}+1\,\hat{k}.
Interpretação: a velocidade que faria as velocidades medidas pelos dois observadores coincidir seria dada por \vec{u}(t)=-6t^{2}\,\hat{i}+2\,\hat{j}+1\,\hat{k}. Note que \vec{u} depende de t.

Passo 6

Vamos entender a consequência física desse resultado para a questão (b).
Definição prática de referencial inercial (no contexto clássico): dois referenciais são inerciais entre si se a velocidade relativa entre eles for constante (sem dependência temporal) — isto é, um se move com velocidade constante em relação ao outro. Em termos das fórmulas acima, isso equivaleria a \vec{u} ser constante (independente de t).
Aqui encontramos \vec{u}=-6t^{2}\,\hat{i}+2\,\hat{j}+1\,\hat{k}, cuja componente na direção \hat{i} é -6t^{2}, claramente dependente de t. Logo a velocidade relativa não é constante.
Como o enunciado já dizia que O é inercial, a consequência lógica é que O' não pode ser inercial: se O é inercial e O’ estivesse se movendo com velocidade não-constante em relação a O, então O' seria um referencial acelerado (não-inercial).

Passo 7

(Treino/checagem adicional: comparando acelerações) Para reforçar a conclusão, calculemos as acelerações medidas nos dois referenciais e compare-as.
Aceleração em O:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(15t^{2}\big)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}\big(2\big)\,\hat{j}+\frac{d}{dt}\big(0\big)\,\hat{k} =30t\,\hat{i}+0\,\hat{j}+0\,\hat{k}.
Aceleração em O':
\vec{a}^{\prime}(t)=\frac{d\vec{v}^{\prime}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(21t^{2}\big)\,\hat{i}+\frac{d}{dt}\big(0\big)\,\hat{j}+\frac{d}{dt}\big(-1\big)\,\hat{k} =42t\,\hat{i}+0\,\hat{j}+0\,\hat{k}.
Diferença:
\vec{a}(t)-\vec{a}^{\prime}(t)=(30t-42t)\,\hat{i}=-12t\,\hat{i}\neq\vec{0}\\ \text{(para }t\neq 0\text{)}.
Em transformações galileanas entre referenciais inerciais as acelerações de uma partícula são iguais em ambos os referenciais (pois \vec{u} é constante e sua segunda derivada é zero). Aqui as acelerações diferem, confirmando que O' não é inercial.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}_{O/O'}(t)=-6t^{2}\,\hat{i}+2\,\hat{j}+1\,\hat{k}\n
(b) Não. O observador O' não é inercial, pois a velocidade relativa encontrada depende de t (logo há aceleração relativa) e as acelerações medidas nos dois referenciais são diferentes.

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