Considere uma partícula de massa m e velocidade \vec{v} se movendo próximo da superfície da Terra, num plano horizontal. Mostre que devido a rotação da Terra (velocidade angular \vec{\omega} ), age sobre a partícula uma força -2 \vec{\omega} \times \vec{v}. Mostre que para o caso de movimento no hemisfério norte essa força causa deflexão à direita do movimento da partícula, enquanto que no hemisfério sul a deflexão é a esquerda da direção de movimento.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa m movendo-se próxima à superfície da Terra num plano horizontal com velocidade \vec{v}. A Terra gira com velocidade angular \vec{\omega}. O que pede:
Mostrar que, ao descrever o movimento no referencial ligado à Terra (referencial girante), age sobre a partícula uma força de Coriolis dada por -2m\,\vec{\omega}\times\vec{v} (ou, por unidade de massa, a aceleração -2\,\vec{\omega}\times\vec{v}).
Mostrar que, no hemisfério norte, essa força causa deflexão à direita do movimento da partícula e que, no hemisfério sul, causa deflexão à esquerda.
Informações relevantes fornecidas:
Massa da partícula: m.
Velocidade da partícula medida no referencial da Terra: \vec{v}.
Velocidade angular da Terra: \vec{\omega} (vetor constante apontando para o polo norte).
Movimento próximo à superfície e num plano horizontal (podemos tratar \vec{r} pequeno em relação ao raio da Terra e desprezar variações grandes de r).
Passo 2
Conceito-chave: relação entre derivadas em referenciais inerciais e girantes.
Seja qualquer vetor \vec{A}(t). A regra de transporte temporal entre o referencial inercial e o referencial girante com velocidade angular \vec{\omega} é
Explicação didática: essa igualdade vem do fato de que, além da variação real de \vec{A} vista no corpo girante, o próprio sistema de eixos gira e produz uma variação adicional igual a \vec{\omega}\times\vec{A}. Use a regra da mão direita para \vec{\omega}\times\vec{A}: o resultado é perpendicular tanto a \vec{\omega} quanto a \vec{A}.
Passo 3
Aplique a identidade ao vetor posição \vec{r}. A velocidade no referencial inercial é
Comentário: \vec{v} é a velocidade relativa da partícula em relação à Terra; \vec{\omega}\times\vec{r} é a velocidade do ponto fixo da superfície devido à rotação da Terra (por exemplo, em um ponto sobre a superfície).
Passo 4
Diferencie novamente para obter acelerações. Usando a regra do passo 2 aplicada a \vec{v}_{\text{in}}:
onde \vec{a}_{\text{gir}}=\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\right)_{\text{girante}} é a aceleração medida no referencial da Terra.
Explicação passo a passo das parcelas:
\vec{a}_{\text{in}} é a aceleração real (inercial) da partícula (usada em m\vec{a}_{\text{in}}= forças reais).
2\,\vec{\omega}\times\vec{v} aparece naturalmente e é a origem do termo de Coriolis.
\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) é o termo centrífugo.
Passo 5
Reescrevendo a segunda lei de Newton no referencial girante: as forças reais que atuam (por exemplo, peso \vec{P} e forças de contato) somadas às forças fictícias devem produzir m\vec{a}_{\text{gir}}. Isolando o termo que vem da transformação de acelerações, obtemos as forças aparentes que devem ser acrescentadas no referencial girante:
Didática: o sinal menos vem do fato de que, ao passar para o referencial girante, devemos subtrair os termos adicionais que aparecem na relação entre acelerações; fisicamente são forças fictícias necessárias para aplicar m\vec{a}_{\text{gir}}= (forças reais + forças fictícias).
Passo 6
Agora vamos determinar a direção dessa força na superfície terrestre (hemisférios norte e sul). Escolhemos um sistema local de eixos:
\hat{x}: direção leste (east),
\hat{y}: direção norte (north),
\hat{z}: direção vertical para cima (local normal à superfície).
Explicação do vetor \vec{\omega} na posição de latitude \varphi:
O vetor \vec{\omega} da Terra aponta para o polo norte. Em coordenadas locais isso se decompõe em uma componente ao longo de \hat{y} (norte local) e uma componente ao longo de \hat{z} (vertical local). A decomposição correta é
Checagem intuitiva: em \varphi=0^\circ (equador) tem \vec{\omega}=\omega\hat{y} (horizontal apontando para norte local); em \varphi=90^\circ (pólo norte) tem \vec{\omega}=\omega\hat{z} (vertical).
Passo 7
Considere um movimento puramente horizontal com
\vec{v} = v_x\,\hat{x} + v_y\,\hat{y}.
Calcule \vec{\omega}\times\vec{v} usando as regras básicas \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}, \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y} e anticomutatividade. Compute termo a termo:
que é muito pequena em comparação com o peso e normalmente absorvida na componente efetiva do peso (ou tratada separadamente como pequena alteração aparente do peso).
Interpretação: a componente horizontal é a que causa a deflexão lateral do movimento.
Passo 9
Determine a orientação da deflexão olhando para a componente horizontal. A fórmula
mostra que o sinal de \sin\varphi determina o sentido da deflexão:
No hemisfério norte \varphi>0 então \sin\varphi>0. Para um movimento puramente norte (v_y>0, v_x=0) a força tem componente positiva em \hat{x} (leste) — isto é, a partícula é desviada para a direita (leste) em relação à sua direção norte. Para um movimento puramente leste (v_x>0, v_y=0) a força tem componente -2m\omega\sin\varphi\,v_x\hat{y}, isto é, aponta para o sul — novamente uma deflexão para a direita da direção leste. Em geral, para qualquer direção de \vec{v}, a força tem direção perpendicular à velocidade e aponta para a direita da direção de movimento.
No hemisfério sul a latitude tem \varphi<0 e \sin\varphi<0. Isso inverte o sinal da componente horizontal, logo a deflexão será para a esquerda da direção do movimento.
Regra prática (resumo intuitivo): no hemisfério norte a Coriolis “empurra” para a direita do sentido de deslocamento; no hemisfério sul empurra para a esquerda.
Passo 10
Comentário final de suporte: a magnitude típica da aceleração de Coriolis é |\vec{a}_{\text{Coriolis}}|\sim 2\omega v\sin\varphi. Como \omega\approx 7{,}29\times 10^{-5}\,\text{s}^{-1}, para velocidades humanas (v\sim 10\,\text{m/s}) a aceleração é muito pequena, mas para grandes escalas (vento, correntes oceânicas) o efeito é relevante.
Resposta
\displaystyle \vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\times\vec{v} (por unidade de massa: \vec{a}_{\text{Coriolis}}=-2\,\vec{\omega}\times\vec{v}).\nNo hemisfério norte (\varphi>0) a força de Coriolis causa deflexão à direita da direção de movimento; no hemisfério sul (\varphi<0) a deflexão é para a esquerda.