Considere uma partícula de massa m e velocidade \vec{v} se movendo próximo da superfície da Terra, num plano horizontal. Mostre que devido a rotação da Terra (velocidade angular \vec{\omega} ), age sobre a partícula uma força -2 \vec{\omega} \times \vec{v}. Mostre que para o caso de movimento no hemisfério norte essa força causa deflexão à direita do movimento da partícula, enquanto que no hemisfério sul a deflexão é a esquerda da direção de movimento.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m movendo-se próxima à superfície da Terra num plano horizontal com velocidade \vec{v}. A Terra gira com velocidade angular \vec{\omega}. O que pede:
  1. Mostrar que, ao descrever o movimento no referencial ligado à Terra (referencial girante), age sobre a partícula uma força de Coriolis dada por -2m\,\vec{\omega}\times\vec{v} (ou, por unidade de massa, a aceleração -2\,\vec{\omega}\times\vec{v}).
  2. Mostrar que, no hemisfério norte, essa força causa deflexão à direita do movimento da partícula e que, no hemisfério sul, causa deflexão à esquerda.
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa da partícula: m.
  • Velocidade da partícula medida no referencial da Terra: \vec{v}.
  • Velocidade angular da Terra: \vec{\omega} (vetor constante apontando para o polo norte).
  • Movimento próximo à superfície e num plano horizontal (podemos tratar \vec{r} pequeno em relação ao raio da Terra e desprezar variações grandes de r).

Passo 2

Conceito-chave: relação entre derivadas em referenciais inerciais e girantes.
Seja qualquer vetor \vec{A}(t). A regra de transporte temporal entre o referencial inercial e o referencial girante com velocidade angular \vec{\omega} é
\left(\frac{d\vec{A}}{dt}\right)_{\text{inercial}} = \left(\frac{d\vec{A}}{dt}\right)_{\text{girante}} + \vec{\omega}\times\vec{A}.
Explicação didática: essa igualdade vem do fato de que, além da variação real de \vec{A} vista no corpo girante, o próprio sistema de eixos gira e produz uma variação adicional igual a \vec{\omega}\times\vec{A}. Use a regra da mão direita para \vec{\omega}\times\vec{A}: o resultado é perpendicular tanto a \vec{\omega} quanto a \vec{A}.

Passo 3

Aplique a identidade ao vetor posição \vec{r}. A velocidade no referencial inercial é
\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)_{\text{inercial}} = \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)_{\text{girante}} + \vec{\omega}\times\vec{r}.
Denotando \vec{v}_{\text{in}}= velocidade no referencial inercial e \vec{v}=\vec{v}_{\text{girante}}= velocidade medida na Terra, obtém-se
\vec{v}_{\text{in}}=\vec{v}+\vec{\omega}\times\vec{r}.
Comentário: \vec{v} é a velocidade relativa da partícula em relação à Terra; \vec{\omega}\times\vec{r} é a velocidade do ponto fixo da superfície devido à rotação da Terra (por exemplo, em um ponto sobre a superfície).

Passo 4

Diferencie novamente para obter acelerações. Usando a regra do passo 2 aplicada a \vec{v}_{\text{in}}:
\left(\frac{d\vec{v}_{\text{in}}}{dt}\right)_{\text{inercial}} = \left(\frac{d}{dt}\right)_{\text{girante}}(\vec{v}+\vec{\omega}\times\vec{r}) + \vec{\omega}\times(\vec{v}+\vec{\omega}\times\vec{r}).
Desenvolvendo e lembrando que \vec{\omega} é constante (Terra gira praticamente com \dot{\vec{\omega}}=\vec{0}):
\vec{a}_{\text{in}} = \left(\frac{d\vec{v}}{dt}\right)_{\text{girante}} + \vec{\omega}\times\vec{v} + \vec{\omega}\times\vec{v} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}).
Agrupando termos:
\vec{a}_{\text{in}} = \vec{a}_{\text{gir}} + 2\,\vec{\omega}\times\vec{v} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}),
onde \vec{a}_{\text{gir}}=\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\right)_{\text{girante}} é a aceleração medida no referencial da Terra.
Explicação passo a passo das parcelas:
  • \vec{a}_{\text{in}} é a aceleração real (inercial) da partícula (usada em m\vec{a}_{\text{in}}= forças reais).
  • 2\,\vec{\omega}\times\vec{v} aparece naturalmente e é a origem do termo de Coriolis.
  • \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) é o termo centrífugo.

Passo 5

Reescrevendo a segunda lei de Newton no referencial girante: as forças reais que atuam (por exemplo, peso \vec{P} e forças de contato) somadas às forças fictícias devem produzir m\vec{a}_{\text{gir}}. Isolando o termo que vem da transformação de acelerações, obtemos as forças aparentes que devem ser acrescentadas no referencial girante:
m\vec{a}_{\text{gir}} = \vec{F}_{\text{reais}} + \underbrace{-2m\,\vec{\omega}\times\vec{v}}_{\text{Coriolis}} \;+\; \underbrace{-m\,\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})}_{\text{centrífuga}}.í
Portanto o termo que age sobre a partícula devido à rotação, e que depende da velocidade relativa \vec{v}, é a força de Coriolis
\boxed{\vec{F}_{\text{Coriolis}} = -2m\,\vec{\omega}\times\vec{v}.}
Se preferirmos falar em aceleração de Coriolis por unidade de massa:
\boxed{\vec{a}_{\text{Coriolis}} = -2\,\vec{\omega}\times\vec{v}.}
Didática: o sinal menos vem do fato de que, ao passar para o referencial girante, devemos subtrair os termos adicionais que aparecem na relação entre acelerações; fisicamente são forças fictícias necessárias para aplicar m\vec{a}_{\text{gir}}= (forças reais + forças fictícias).

Passo 6

Agora vamos determinar a direção dessa força na superfície terrestre (hemisférios norte e sul). Escolhemos um sistema local de eixos:
  • \hat{x}: direção leste (east),
  • \hat{y}: direção norte (north),
  • \hat{z}: direção vertical para cima (local normal à superfície).
Explicação do vetor \vec{\omega} na posição de latitude \varphi:
  • O vetor \vec{\omega} da Terra aponta para o polo norte. Em coordenadas locais isso se decompõe em uma componente ao longo de \hat{y} (norte local) e uma componente ao longo de \hat{z} (vertical local). A decomposição correta é
\vec{\omega} = \omega\big(\cos\varphi\,\hat{y} + \sin\varphi\,\hat{z}\big).
Checagem intuitiva: em \varphi=0^\circ (equador) tem \vec{\omega}=\omega\hat{y} (horizontal apontando para norte local); em \varphi=90^\circ (pólo norte) tem \vec{\omega}=\omega\hat{z} (vertical).

Passo 7

Considere um movimento puramente horizontal com
\vec{v} = v_x\,\hat{x} + v_y\,\hat{y}.
Calcule \vec{\omega}\times\vec{v} usando as regras básicas \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}, \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y} e anticomutatividade. Compute termo a termo:
Primeiro escrevemos
\vec{\omega}\times\vec{v} = \omega\big(\cos\varphi\,\hat{y} + \sin\varphi\,\hat{z}\big)\times\big(v_x\hat{x}+v_y\hat{y}\big).
Expandindo:
\vec{\omega}\times\vec{v} = \omega\cos\varphi\big(\hat{y}\times(v_x\hat{x}+v_y\hat{y})\big) + \omega\sin\varphi\big(\hat{z}\times(v_x\hat{x}+v_y\hat{y})\big).
Calcule cada produto:
\hat{y}\times(v_x\hat{x}+v_y\hat{y}) = v_x(\hat{y}\times\hat{x}) + v_y(\hat{y}\times\hat{y}) = v_x(-\hat{z}) + 0 = -v_x\hat{z},
\hat{z}\times(v_x\hat{x}+v_y\hat{y}) = v_x(\hat{z}\times\hat{x}) + v_y(\hat{z}\times\hat{y}) = v_x\hat{y} + v_y(-\hat{x}) = v_x\hat{y} - v_y\hat{x}.
Somando,
\vec{\omega}\times\vec{v} = \omega\big(-v_x\cos\varphi\,\hat{z} + v_x\sin\varphi\,\hat{y} - v_y\sin\varphi\,\hat{x}\big).

Passo 8

Multiplicando por -2m para obter a força de Coriolis:
\vec{F}_{\text{Coriolis}} = -2m\,\vec{\omega}\times\vec{v} = 2m\omega\big(v_x\cos\varphi\,\hat{z} - v_x\sin\varphi\,\hat{y} + v_y\sin\varphi\,\hat{x}\big).
Separe componentes horizontais e verticais:
  • componente horizontal (importante para deflexão):
\vec{F}_{\text{Coriolis,horizontal}} = 2m\omega\sin\varphi\,(v_y\,\hat{x} - v_x\,\hat{y}).
  • componente vertical:
F_{\text{Coriolis},z} = 2m\omega v_x\cos\varphi,
que é muito pequena em comparação com o peso e normalmente absorvida na componente efetiva do peso (ou tratada separadamente como pequena alteração aparente do peso).
Interpretação: a componente horizontal é a que causa a deflexão lateral do movimento.

Passo 9

Determine a orientação da deflexão olhando para a componente horizontal. A fórmula
\vec{F}_{\text{Coriolis,horizontal}} = 2m\omega\sin\varphi\,(v_y\,\hat{x} - v_x\,\hat{y})
mostra que o sinal de \sin\varphi determina o sentido da deflexão:
  • No hemisfério norte \varphi>0 então \sin\varphi>0. Para um movimento puramente norte ( v_y>0, v_x=0) a força tem componente positiva em \hat{x} (leste) — isto é, a partícula é desviada para a direita (leste) em relação à sua direção norte. Para um movimento puramente leste ( v_x>0, v_y=0) a força tem componente -2m\omega\sin\varphi\,v_x\hat{y}, isto é, aponta para o sul — novamente uma deflexão para a direita da direção leste. Em geral, para qualquer direção de \vec{v}, a força tem direção perpendicular à velocidade e aponta para a direita da direção de movimento.
  • No hemisfério sul a latitude tem \varphi<0 e \sin\varphi<0. Isso inverte o sinal da componente horizontal, logo a deflexão será para a esquerda da direção do movimento.
Regra prática (resumo intuitivo): no hemisfério norte a Coriolis “empurra” para a direita do sentido de deslocamento; no hemisfério sul empurra para a esquerda.

Passo 10

Comentário final de suporte: a magnitude típica da aceleração de Coriolis é |\vec{a}_{\text{Coriolis}}|\sim 2\omega v\sin\varphi. Como \omega\approx 7{,}29\times 10^{-5}\,\text{s}^{-1}, para velocidades humanas (v\sim 10\,\text{m/s}) a aceleração é muito pequena, mas para grandes escalas (vento, correntes oceânicas) o efeito é relevante.

Resposta

\displaystyle \vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\times\vec{v} (por unidade de massa: \vec{a}_{\text{Coriolis}}=-2\,\vec{\omega}\times\vec{v}).\nNo hemisfério norte ( \varphi>0) a força de Coriolis causa deflexão à direita da direção de movimento; no hemisfério sul ( \varphi<0) a deflexão é para a esquerda.

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