Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de
. Afastando-se de
, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de
. Calcule a largura do rio. ( 0.5 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um observador que vê o topo de uma torre em outra margem de um rio sob dois ângulos diferentes quando ele se afasta. A matéria que vamos precisar aqui é trigonometria, especificamente o uso da tangente para relacionar ângulos e distâncias. Vamos precisar desenhar um diagrama simples e usar as funções trigonométricas para encontrar a largura do rio.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação: temos uma torre do outro lado do rio, e o observador está na margem. Quando ele está em um ponto inicial, o ângulo de visão para o topo da torre é de
. Quando ele se afasta
, o ângulo diminui para
. Nosso objetivo é descobrir a largura do rio, que é a distância direta entre o observador e a base da torre.
Passo 3
Vamos chamar a largura do rio de
. No primeiro ponto, onde o ângulo é
, podemos usar a tangente:
Aqui,
é a altura da torre.
Passo 4
No segundo ponto, o observador se afasta
, então a distância até a torre é
. O ângulo agora é
, então temos:
Passo 5
Agora, temos duas equações com duas incógnitas (
e
). Podemos resolver esse sistema para encontrar
. Primeiro, da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 6
Vamos isolar
. Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Passo 7
Agora, vamos juntar os termos com
:
Fatorando
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Agora é só calcular com uma calculadora.
Resposta
A largura do rio é aproximadamente
.