Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56^circ 00^prime 00^prime prime. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35^circ 00^circ 00^circ. Calcule a largura do rio. ( 0.5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um observador que vê o topo de uma torre em outra margem de um rio sob dois ângulos diferentes quando ele se afasta. A matéria que vamos precisar aqui é trigonometria, especificamente o uso da tangente para relacionar ângulos e distâncias. Vamos precisar desenhar um diagrama simples e usar as funções trigonométricas para encontrar a largura do rio.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação: temos uma torre do outro lado do rio, e o observador está na margem. Quando ele está em um ponto inicial, o ângulo de visão para o topo da torre é de 56^circ. Quando ele se afasta 20,00 m, o ângulo diminui para 35^circ. Nosso objetivo é descobrir a largura do rio, que é a distância direta entre o observador e a base da torre.

Passo 3

Vamos chamar a largura do rio de x. No primeiro ponto, onde o ângulo é 56^circ, podemos usar a tangente:
tan(56^circ) = hx
Aqui, h é a altura da torre.

Passo 4

No segundo ponto, o observador se afasta 20,00 m, então a distância até a torre é x + 20. O ângulo agora é 35^circ, então temos:
tan(35^circ) = hx + 20

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( h e x). Podemos resolver esse sistema para encontrar x. Primeiro, da primeira equação:
h = x cdot tan(56^circ)
Substituindo h na segunda equação:
tan(35^circ) = x cdot tan(56^circ)x + 20

Passo 6

Vamos isolar x. Multiplicando ambos os lados por (x + 20):
tan(35^circ) (x + 20) = x cdot tan(56^circ)
Distribuindo:
x cdot tan(35^circ) + 20 cdot tan(35^circ) = x cdot tan(56^circ)

Passo 7

Agora, vamos juntar os termos com x:
x cdot tan(56^circ) - x cdot tan(35^circ) = 20 cdot tan(35^circ)
Fatorando x:
x ( tan(56^circ) - tan(35^circ) ) = 20 cdot tan(35^circ)

Passo 8

Finalmente, isolamos x:
x = 20 cdot tan(35^circ)tan(56^circ) - tan(35^circ)
Agora é só calcular com uma calculadora.

Resposta

A largura do rio é aproximadamente 20 cdot tan(35^circ)tan(56^circ) - tan(35^circ) approx 13,62 , m.

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