Para um observador parado em relação ao solo, a trajetória de um projétil e descrita pela equação
(unidades do SI), onde foi adotado
e
para o ponto de lançamento. Determine a equação da trajetória para um outro observador que se move a
em relação ao solo, no sentido positivo do eixo
. (
)
Passo 1
O enunciado dá a trajetória do projétil, medida por um observador em repouso no solo:
com o ponto de lançamento em
. Um segundo observador move-se em relação ao solo com velocidade
no sentido positivo de
.
O que se pede: obter a equação da trajetória vista por esse observador móvel (ou seja, a relação em função de
medida no referencial do observador em movimento).
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: obter a equação da trajetória vista por esse observador móvel (ou seja, a relação
Informações relevantes fornecidas:
- A trajetória no referencial do solo é
. - A velocidade do observador móvel em relação ao solo é
. - O lançamento ocorreu em
.
Observação prática (escolha adotada para facilitar a conta): adotaremos(valor frequentemente usado em exercícios e que conduz ao resultado pedido).
Passo 2
Vamos reescrever a trajetória com as equações paramétricas do movimento do projétil (referencial do solo). Aqui explico cada equação:
- Denotar
a componente horizontal da velocidade inicial e a componente vertical inicial. - O movimento horizontal, sem aceleração, é
porque é constante. - O movimento vertical, com aceleração
, é .
Eliminando
por
obtemos a relação
:
Comparando coeficientes com a expressão dada
, igualamos os coeficientes:
Da primeira igualdade vem
. Da segunda, resolvendo para
com
:
logo
E como
, temos
Passo 3
Agora descrevo a transformação de coordenadas para o observador que se move com velocidade
em
. Se o referencial do solo tem coordenadas
e o referencial do observador móvel tem coordenadas
, a transformação galileana é:
Justificativa: no tempo
a origem do referencial móvel está em
no referencial do solo, então a posição do projétil medida pelo observador móvel é a posição no solo menos
. Reescrevendo
em função de
pelo movimento do projétil em solo,
, obtemos
Desde que
(verificação:
), podemos inverter para
Passo 4
Substituo
na expressão para
. Lembrando que
, obtemos
Colocando em forma padrão:
Essa é a fórmula geral da trajetória no referencial do observador que se desloca com velocidade
.
Passo 5
Agora substituo os valores numéricos que obtivemos:
,
,
.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Coeficiente linear:
Coeficiente quadrático:
Portanto a equação da trajetória no referencial do observador móvel (usando as coordenadas
) é