Para um observador parado em relação ao solo, a trajetória de um projétil e descrita pela equação y=x-10^{-3} x^{2} (unidades do SI), onde foi adotado x=0 e y=0 para o ponto de lançamento. Determine a equação da trajetória para um outro observador que se move a 20 \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao solo, no sentido positivo do eixo x. ( y=\frac{5}{3} x-\frac{1}{360} x^{2} )

Passo 1

O enunciado dá a trajetória do projétil, medida por um observador em repouso no solo:
y = x - 10^{-3} x^{2},
com o ponto de lançamento em x=0,\\ y=0. Um segundo observador move-se em relação ao solo com velocidade \,v = 20\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\, no sentido positivo de x.
O que se pede: obter a equação da trajetória vista por esse observador móvel (ou seja, a relação y em função de x medida no referencial do observador em movimento).
Informações relevantes fornecidas:
  • A trajetória no referencial do solo é \,y=x-10^{-3}x^{2}\,.
  • A velocidade do observador móvel em relação ao solo é \,v=20\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\,.
  • O lançamento ocorreu em x=0,\\ y=0.
    Observação prática (escolha adotada para facilitar a conta): adotaremos \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (valor frequentemente usado em exercícios e que conduz ao resultado pedido).

Passo 2

Vamos reescrever a trajetória com as equações paramétricas do movimento do projétil (referencial do solo). Aqui explico cada equação:
  • Denotar u_x a componente horizontal da velocidade inicial e u_y a componente vertical inicial.
  • O movimento horizontal, sem aceleração, é \,x = u_x t\, porque u_x é constante.
  • O movimento vertical, com aceleração -g, é \,y = u_y t - \tfrac{1}{2} g t^{2}\,.
Eliminando t por t = x/u_x obtemos a relação y(x):
y = u_y\left(\frac{x}{u_x}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{u_x}\right)^{2} = \frac{u_y}{u_x}\,x - \frac{g}{2u_x^{2}}\,x^{2}.
Comparando coeficientes com a expressão dada \,y = x - 10^{-3}x^{2}\,, igualamos os coeficientes:
\frac{u_y}{u_x} = 1 \qquad\text{e}\qquad \frac{g}{2u_x^{2}} = 10^{-3}.
Da primeira igualdade vem \,u_y = u_x\,. Da segunda, resolvendo para u_x com \,g=10\,:
u_x^{2} = \frac{g}{2\cdot 10^{-3}} = \frac{10}{0{,}002} = 5000,
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u_x = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
E como u_y = u_x, temos
u_y = 50\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora descrevo a transformação de coordenadas para o observador que se move com velocidade \,v em +\!x. Se o referencial do solo tem coordenadas (x,y) e o referencial do observador móvel tem coordenadas (x',y'), a transformação galileana é:
x' = x - v t, \qquad y' = y.
Justificativa: no tempo t a origem do referencial móvel está em x=v t no referencial do solo, então a posição do projétil medida pelo observador móvel é a posição no solo menos v t. Reescrevendo x em função de t pelo movimento do projétil em solo, x = u_x t, obtemos
x' = u_x t - v t = (u_x - v)\,t.
Desde que u_x - v \neq 0 (verificação: u_x - v = 50\sqrt{2} - 20\sqrt{2} = 30\sqrt{2} > 0), podemos inverter para
t = \frac{x'}{u_x - v}.

Passo 4

Substituo t na expressão para y'. Lembrando que y' = y = u_y t - \tfrac{1}{2} g t^{2}, obtemos
y' = u_y\left(\frac{x'}{u_x - v}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{x'}{u_x - v}\right)^{2}.
Colocando em forma padrão:
y' = \frac{u_y}{u_x - v}\,x' - \frac{g}{2(u_x - v)^{2}}\,{x'}^{2}.
Essa é a fórmula geral da trajetória no referencial do observador que se desloca com velocidade v.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos que obtivemos: \,u_x = u_y = 50\sqrt{2}\,, \,v = 20\sqrt{2}\,, \,g=10\,.
Primeiro calcule u_x - v:
u_x - v = 50\sqrt{2} - 20\sqrt{2} = 30\sqrt{2}.
Coeficiente linear:
\frac{u_y}{u_x - v} = \frac{50\sqrt{2}}{30\sqrt{2}} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}.
Coeficiente quadrático:
\frac{g}{2(u_x - v)^{2}} = \frac{10}{2\,(30\sqrt{2})^{2}} = \frac{10}{2\cdot 30^{2}\cdot 2} = \frac{10}{2\cdot 900\cdot 2} = \frac{10}{3600} = \frac{1}{360}.
Portanto a equação da trajetória no referencial do observador móvel (usando as coordenadas (x',y')) é
y' = \frac{5}{3}\,x' - \frac{1}{360}\,{x'}^{2}.

Resposta

y=\frac{5}{3}x-\frac{1}{360}x^{2}

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