Um projétil é disparado com velocidade de 600 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um ângulo de 45^{\circ} com a horizontal. Para o instante t=20 \sqrt{2} s, calcule:
a) a aceleração tangencial; ( \vec{a}_{T}=-3 \hat{i}-\hat{j} )
b) a aceleração centrípeta; ( \vec{a}_{C}=3 \hat{i}-9 \hat{j} )
c) o raio de curvatura da trajetória executada pelo projétil. ( 21 km )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda. Dados fornecidos:
  • velocidade inicial v_0 = 600\\ \mathrm{m/s};
  • ângulo de lançamento \theta = 45^\circ com a horizontal;
  • instante considerado t = 20\sqrt{2}\\ \mathrm{s}.
    O enunciado pede:
    a) a aceleração tangencial (vetor) naquele instante;
    b) a aceleração centrípeta (vetor) naquele instante;
    c) o raio de curvatura da trajetória naquele instante.
Observação importante (escolha feita para coincidir com as respostas esperadas): adoto g=10\\ \mathrm{m/s^2} como intensidade da aceleração da gravidade, porque isso simplifica os números e coincide com os vetores e o raio fornecidos.

Passo 2

Primeiro escrevemos as componentes da velocidade inicial usando trigonometria. Como \theta=45^\circ, tem-se \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo:
v_{0x}=v_0\cos45^\circ=600\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=300\sqrt{2},
v_{0y}=v_0\sin45^\circ=300\sqrt{2}.
Essas são as componentes em \hat{i} e \hat{j} respectivamente (m/s).

Passo 3

Agora a velocidade no instante t. Em movimento balístico (sem resistência do ar) a componente horizontal permanece constante e a vertical decresce por g:
v_x(t)=v_{0x}=300\sqrt{2},
v_y(t)=v_{0y}-g t = 300\sqrt{2}-g\cdot 20\sqrt{2}=\sqrt{2}\,(300-20g).
Com g=10 obtemos
v_y(t)=\sqrt{2}\,(300-200)=100\sqrt{2}.
Portanto o vetor velocidade no instante dado é
\vec{v}=300\sqrt{2}\,\hat{i}+100\sqrt{2}\,\hat{j}.

Passo 4

Calculamos o módulo (velocidade escalar) |\vec{v}|. Primeiro |\vec{v}|^2:
|\vec{v}|^2=(300\sqrt{2})^2+(100\sqrt{2})^2=180000+20000=200000.
Logo
|\vec{v}|=\sqrt{200000}=100\sqrt{20}=200\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Escrevemos a aceleração total do projétil. Só há gravidade na vertical (sem resistência do ar), portanto
\vec{a} = 0\cdot\hat{i} - g\cdot\hat{j} = -g\,\hat{j}.
Com g=10 temos
\vec{a}= -10\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Definição e estratégia para achar a aceleração tangencial vetorial. O componente tangencial de \vec{a} é a projeção de \vec{a} na direção do vetor velocidade \vec{v}. A fórmula da projeção (vetorial) é
\vec{a}_T = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\,\vec{v}.
Aqui \vec{a}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{a} e \vec{v}, e |\vec{v}|^2 é o quadrado do módulo da velocidade. Vou calcular passo a passo.

Passo 7

Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{v}. Como \vec{a}=(0,-10) e \vec{v}=(300\sqrt{2},100\sqrt{2}),
\vec{a}\cdot\vec{v} = 0\cdot(300\sqrt{2}) + (-10)\cdot(100\sqrt{2}) = -1000\sqrt{2}.
Já sabemos |\vec{v}|^2 = 200000. Substituindo na fórmula da projeção:
\vec{a}_T = \frac{-1000\sqrt{2}}{200000}\,\vec{v} = -\frac{1000\sqrt{2}}{200000}\,(300\sqrt{2}\,\hat{i}+100\sqrt{2}\,\hat{j}).
Vou simplificar fator a fator: \dfrac{1000}{200000}=\dfrac{1}{200}=0{,}005 e \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2. Então
\vec{a}_T = -0{,}005\cdot 2\,(300\,\hat{i}+100\,\hat{j}) = -0{,}01\,(300\,\hat{i}+100\,\hat{j}).
Finalmente
\vec{a}_T = (-3)\,\hat{i}+(-1)\,\hat{j} = -3\,\hat{i}-1\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}.
Comentário didático: o componente tangencial é paralelo à velocidade e pode ser obtido projetando a aceleração sobre a direção do movimento; aqui o valor ficou negativo porque a aceleração (gravidade) tem uma componente anti-paralela à componente vertical da velocidade, reduzindo a rapidez naquele instante.

Passo 8

Aceleração centrípeta (vetorial). Por decomposição vetorial, a aceleração total é soma da parte tangencial com a parte normal (centrípeta):
\vec{a} = \vec{a}_T + \vec{a}_C \quad\Rightarrow\quad \vec{a}_C = \vec{a}-\vec{a}_T.
Usando \vec{a}= -10\,\hat{j} e \vec{a}_T=-3\,\hat{i}-1\,\hat{j},
\vec{a}_C = (0,-10)-(-3,-1) = (3,-9),
ou seja
\vec{a}_C = 3\,\hat{i}-9\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}.
Explicação: a componente centrípeta é perpendicular à direção tangente e é a responsável por curvar a trajetória; aqui tem componente positiva em \hat{i} e negativa em \hat{j}.

Passo 9

Agora o raio de curvatura \rho (também chamado de raio de curvatura instantâneo) relaciona-se com a componente centrípeta por
|\vec{a}_C|=\frac{|\vec{v}|^2}{\rho}\quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{a}_C|}.
Calculamos |\vec{a}_C|:
|\vec{a}_C|=\sqrt{3^2+(-9)^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.
E já temos |\vec{v}|^2=200000. Portanto
\rho=\frac{200000}{3\sqrt{10}}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a aproximação numérica \sqrt{10}\approx 3{,}1623:
\rho\approx\frac{200000}{3\cdot 3{,}1623} \approx 21082{,}7\\ \mathrm{m}\approx 21{,}08\\ \mathrm{km}.
Arredondando conforme o enunciado, isso dá aproximadamente 21\\ \mathrm{km}.

Resposta

\vec{a}_T = -3\,\hat{i}-1\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}
\vec{a}_C = 3\,\hat{i}-9\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}
\rho \approx 21{,}08\\ \mathrm{km}

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