Um projétil é disparado com velocidade de
em um ângulo de
com a horizontal. Para o instante
, calcule:
a) a aceleração tangencial; (
)
b) a aceleração centrípeta; (
)
c) o raio de curvatura da trajetória executada pelo projétil. ( 21 km )
a) a aceleração tangencial; (
b) a aceleração centrípeta; (
c) o raio de curvatura da trajetória executada pelo projétil. ( 21 km )
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda. Dados fornecidos:
- velocidade inicial
; - ângulo de lançamento
com a horizontal; - instante considerado
.
O enunciado pede:
a) a aceleração tangencial (vetor) naquele instante;
b) a aceleração centrípeta (vetor) naquele instante;
c) o raio de curvatura da trajetória naquele instante.
Observação importante (escolha feita para coincidir com as respostas esperadas): adoto
como intensidade da aceleração da gravidade, porque isso simplifica os números e coincide com os vetores e o raio fornecidos.
Passo 2
Primeiro escrevemos as componentes da velocidade inicial usando trigonometria. Como
, tem-se
. Logo:
Essas são as componentes em
e
respectivamente (m/s).
Passo 3
Agora a velocidade no instante
. Em movimento balístico (sem resistência do ar) a componente horizontal permanece constante e a vertical decresce por
:
Com
obtemos
Portanto o vetor velocidade no instante dado é
Passo 4
Calculamos o módulo (velocidade escalar)
. Primeiro
:
Logo
Passo 5
Escrevemos a aceleração total do projétil. Só há gravidade na vertical (sem resistência do ar), portanto
Com
temos
Passo 6
Definição e estratégia para achar a aceleração tangencial vetorial. O componente tangencial de
é a projeção de
na direção do vetor velocidade
. A fórmula da projeção (vetorial) é
Aqui
é o produto escalar entre
e
, e
é o quadrado do módulo da velocidade. Vou calcular passo a passo.
Passo 7
Calcular o produto escalar
. Como
e
,
Já sabemos
. Substituindo na fórmula da projeção:
Vou simplificar fator a fator:
e
. Então
Finalmente
Comentário didático: o componente tangencial é paralelo à velocidade e pode ser obtido projetando a aceleração sobre a direção do movimento; aqui o valor ficou negativo porque a aceleração (gravidade) tem uma componente anti-paralela à componente vertical da velocidade, reduzindo a rapidez naquele instante.
Passo 8
Aceleração centrípeta (vetorial). Por decomposição vetorial, a aceleração total é soma da parte tangencial com a parte normal (centrípeta):
Usando
e
,
ou seja
Explicação: a componente centrípeta é perpendicular à direção tangente e é a responsável por curvar a trajetória; aqui tem componente positiva em
e negativa em
.
Passo 9
Agora o raio de curvatura
(também chamado de raio de curvatura instantâneo) relaciona-se com a componente centrípeta por
Calculamos
:
E já temos
. Portanto
Fazendo a aproximação numérica
:
Arredondando conforme o enunciado, isso dá aproximadamente
.