O observador S vê um pulso de luz vermelha a 1.210 m de distância e um pulso de luz azul 730 m mais próximo, na mesma direção. S observa que o pulso vermelho ocorre 4,96 \mu \mathrm{~s} antes do pulso azul. (a) Ache a velocidade relativa (módulo, direção e sentido) de um segundo observador S^{\prime} para o qual os dois pulsos ocorreriam no mesmo local. (b) Do ponto de vista de S^{\prime}, qual pulso ocorre antes e qual é o intervalo de tempo entre eles? R: (a) 0,419 \mathrm{c}-\mathrm{Ox} (b) 4,23 \mu \mathrm{~s}; vermelho

Passo 1

O enunciado nos dá dois eventos em S: o pulso vermelho detectado em x_R=1{,}210\text{ m} e, na mesma direção, o pulso azul detectado em x_B=1{,}210-0{,}730=0{,}480\text{ m}. O intervalo de tempo entre eles em S é
\Delta t = t_B - t_R = 4{,}96\times10^{-6}\text{ s}.
O conteúdo é transformação de Lorentz unidimensional: vamos achar a velocidade v de um referencial S' em que esses dois eventos ocorram no mesmo lugar ( \Delta x'=0) e depois calcular o intervalo de tempo \Delta t' em S'.

Passo 2

Em S definimos
\Delta x = x_B - x_R = 0{,}480 - 1{,}210 = -0{,}730\text{ m}, \quad \Delta t = 4{,}96\times10^{-6}\text{ s}.

Passo 3

A condição para que os dois eventos ocorram no mesmo ponto em S' é
\Delta x' = \gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr)=0,
onde \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}. Daí
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
em módulo e sinal. Substituindo os valores numéricos chega-se a
v\approx0{,}419\,c
(no sentido de Ox que leva o observador de S' do evento do vermelho ao do azul).

Passo 4

O intervalo de tempo em S' é obtido por
\Delta t'=\gamma\Bigl(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\Bigr).
Usando v=0{,}419\,c, \Delta x=-0{,}730\text{ m}, \Delta t=4{,}96\times10^{-6}\text{ s} e
\gamma=1/\sqrt{1-0{,}419^2}, encontra-se
\Delta t'\approx4{,}23\times10^{-6}\text{ s}.

Resposta

(a) v=0{,}419\,c no sentido positivo de Ox.
(b) Em S' o pulso vermelho ainda ocorre antes, com intervalo \Delta t'=4{,}23\,\mu\text{s}.

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