Os observadores S e S^{\prime} estão nas origens de referenciais que se movem, um em relação ao outro, com velocidade 0,600 c. Eles têm relógios que são sincronizados para marcar zero quando as origens dos referenciais coincidem. O observador S mantém o relógio de S^{\prime} sob sua vista. (a) Que tempo o relógio de S^{\prime} marcará, quando o relógio de S marcar 5,00 \mu \mathrm{~s} ? (b) Que tempo o observador S verá realmente no relógio de S^{\prime} quando seu relógio marcar 5,00 \mu \mathrm{~s} ? R: (a) 4,00 \mu \mathrm{~s} (b) 2,50 \mu \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado trata de dois referenciais inerciais S e S' cujas origens coincidem em t=0 e depois se afastam com velocidade relativa v=0,600\,c. Cada observador tem um relógio e ambos marcam zero no encontro inicial.
Conteúdo: relatividade restrita – dilatação do tempo e atraso de propagação óptica.
Objetivos:
\bullet (a) Calcular o tempo próprio \Delta t' marcado em S' quando o relógio de S marcar \Delta t=5,00\,\mu\text{s} (dilatação do tempo).
\bullet (b) Determinar que leitura de S' o observador S efetivamente vê no instante em que seu relógio marca 5,00\,\mu\text{s}, considerando o tempo que a luz leva para viajar de S' a S.

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz
\beta = \frac{v}{c} = 0,600, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-(0,600)^2}} =1,25.

Passo 3

Aplicar a fórmula da dilatação do tempo: o relógio em S' (relação a ele próprio) marca menos tempo segundo S.
\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{5,00\,\mu\text{s}}{1,25} =4,00\,\mu\text{s}.

Passo 4

Para saber o que S “vê” no relógio de S' em t_{\rm obs}=5,00\,\mu\text{s}, consideramos o evento de emissão da luz em S no instante t_e. Em S, em t_e o relógio S' está na posição x_e = v\,t_e e a luz percorre essa distância até x=0 em
c\,(t_{\rm obs}-t_e) = x_e = v\,t_e.
Isolando t_e:
t_{\rm obs}-t_e = \beta\,t_e \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm obs} = t_e\,(1+\beta) \quad\Longrightarrow\quad t_e = \frac{t_{\rm obs}}{1+\beta} = \frac{5,00\,\mu\text{s}}{1+0,600} =3,125\,\mu\text{s}.

Passo 5

O tempo marcado no relógio de S' no evento de emissão é menor por dilatação:
t'_e = \frac{t_e}{\gamma} = \frac{3,125\,\mu\text{s}}{1,25} =2,50\,\mu\text{s}.

Resposta

(a) 4,00\,\mu\text{s}
(b) 2,50\,\mu\text{s}

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