O observador S relata que um evento ocorreu no eixo x em x=3,20 times 10^8 m no instante t=2,50 s. (a) O observador S^prime está se movendo na direção x crescente com uma velocidade de 0,380c. Que coordenadas S^prime relata para o evento? (b) Que coordenadas S^prime prime relataria se S^prime prime estivesse se movendo na direção x decrescente com a mesma velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve transformações de coordenadas no contexto da Relatividade Restrita. Basicamente, queremos saber como dois observadores que estão se movendo com velocidades diferentes medem as posições e os tempos de um mesmo evento. Para isso, vamos precisar usar as transformações de Lorentz, que são fórmulas que conectam as coordenadas de um evento em um referencial com as coordenadas no outro referencial que está se movendo em relação ao primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que nos foi dado:
  • No referencial S, o evento ocorre no eixo x em $ x = 3,20 \times 10^{8} $ metros, no instante $ t = 2,50 $ segundos.
  • O observador S’ está se movendo na direção crescente de x com uma velocidade de $ 0,380c $, onde $ c $ é a velocidade da luz ($ c \approx 3,00 \times 10^{8} $ m/s).
Queremos descobrir quais são as coordenadas desse mesmo evento no referencial S’.

Passo 3

Vamos aplicar as transformações de Lorentz para passar das coordenadas do referencial S para o referencial S’. As fórmulas são:
x' = gamma (x - vt)
t' = gamma (t - v xc^2)
Onde:
  • $ v $ é a velocidade relativa entre os referenciais (neste caso, $ 0,380c $),
  • $ \gamma $ é o fator de Lorentz, dado por $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v2}{c2}}} $.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o fator $ \gamma $:
gamma
v = 0,380c Rightarrow v^2c^2 = (0,380)^2 = 0,1444

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para $ x’ $:
x'
Sabemos que $ c = 3,00 \times 10^{8} , m/s $, então:
x' = gamma (x - vt) = 1,081 (3,20 times 10^8 , m - 0,380c times 2,50 , s)
c = 3,00 times 10^8 , m/s
v = 0,380 times 3,00 times 10^8 , m/s = 1,14 times 10^8 , m/s

Passo 6

Agora, vamos calcular $ t’ $:
t'
Simplificando o termo dentro dos parênteses:
t' = gamma (t - v xc^2) = 1,081 (2,50 , s - 1,14 times 10^8 , m/s times 3,20 times 10^8 , m(3,00 times 10^8 , m/s)^2)
v xc^2 = 1,14 times 10^8 times 3,20 times 10^89,00 times 10^16 = 3,648 times 10^169,00 times 10^16 = 0,405 , s

Resposta

No referencial S’, as coordenadas do evento são aproximadamente:
  • $ x’ \approx 3,78 \times 10^{7} , m $
  • $ t’ \approx 2,26 , s $

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