Um pião gira sobre uma mesa com omega=10 pi rad / s. Devido ao atrito com a superfície, o pião passa a perder velocidade numa taxa de alpha=pi / 5 rad / s^2. Se o pião não consegue se sustentar em pé quando omega<2 pi rad / s, por quanto tempo ele ficará em pé e quantas voltas ele dará nesse intervalo?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um pião começa girando com velocidade angular inicial
omega0 = 10pi rad/s
e vai freando com aceleração angular constante de magnitude
alpha = pi5 rad/s^2,
Ele para de se sustentar quando a velocidade cai abaixo de
omegaf = 2pi rad/s,
O conteúdo aqui é cinemática angular (movimento com aceleração constante):
– equação da velocidade omega(t)
– equação do deslocamento angular theta(t)
Pra resolver a gente vai usar essas fórmulas direitinho.

Passo 2

Antes de mais nada, como o pião “perde” velocidade, nossa aceleração angular é negativa:
alpha = -pi5 rad/s^2,
Então os dados são:
omega0 = 10pi
alpha = -dfracpi5
omegaf = 2pi

Passo 3

Queremos achar o tempo t em que omega(t) = omegaf. A fórmula da velocidade é
omega(t) = omega0 + alpha,t,
Substituindo:
2pi = 10pi + l(-pi5r),t Longrightarrow -pi5,t = 2pi - 10pi = -8pi,
Então
t = -8pi-tfracpi5 = 8picdot5pi = 40 s,

Passo 4

Agora a gente calcula o ângulo total theta girado até esse tempo. A equação é
theta = omega0,t + tfrac12,alpha,t^2,
Substituindo tudo:
$$\theta = 10\pi\cdot40 + \tfrac12!\Bigl(-\tfrac{\pi}{5}\Bigr)!(40)^2
= 400\pi - \tfrac12\cdot\frac{\pi}{5}\cdot1600
= 400\pi - 160\pi = 240\pi\ \mathrm{rad},. $$

Passo 5

Pra saber quantas voltas isso dá, dividimos pelo ângulo de uma volta ( 2pi rad):
N = theta2pi = 240pi2pi = 120 vo

Resposta

O pião fica em pé por 40 s e dá 120 voltas nesse intervalo.

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