Um observador vê o tôpo de uma torre sob um ângulo de elevação de 30 graus, com um possível erro de 10'. Se a distância da torre é de 300 m , com um possível erro de 10 cm , use a aproximação 10' aproximado 0.003 r d e calcule a altura aproximada da torre e seu possível erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de trigonometria. Um observador está olhando para o topo de uma torre com um ângulo de elevação de 30 graus, mas esse ângulo pode ter um erro de 10' (10 minutos). A distância até a torre é de 300 metros, com um erro possível de 10 centímetros. A gente vai usar a aproximação 10' aproximado 0.003 r d para calcular a altura aproximada da torre e o erro dessa altura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a altura da torre usando a função tangente, que relaciona o ângulo de elevação com a altura e a distância. A fórmula é:
Onde:
  • h é a altura da torre
  • d é a distância até a torre (300 m)
  • theta é o ângulo de elevação (30°)

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que:

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula da altura:
Então, a altura aproximada da torre é de 173.2 metros.

Passo 5

Vamos calcular o erro na altura. Temos dois erros a considerar: o erro no ângulo ( 10') e o erro na distância (0.10 m).
Primeiro, usando a aproximação dada:
Onde:
  • r é a altura que estamos calculando
  • d é a distância (300 m)

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, consideramos também o erro na distância:

Passo 8

Para encontrar o erro total na altura, somamos os erros individuais:

Resposta

A altura aproximada da torre é de metros, com um possível erro de metros.

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