(2,0 pontos) Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nisso! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que é assim:
O conteúdo aqui envolve resolver EDOs usando o método dos coeficientes constantes. Vamos precisar entender um pouco sobre equações características e raízes de polinômios para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
(assumindo que
) para deixar a equação mais fácil de trabalhar:
Passo 3
Agora, a gente assume que a solução tem a forma de uma função exponencial, ou seja:
Onde
é um número que a gente precisa descobrir.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação simplificada:
Como
nunca é zero, podemos dividir todos os termos por
:
Essa é a chamada equação característica.
Passo 6
Agora, a gente resolve essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A fórmula para resolver uma equação do tipo
é:
Aqui,
,
e
.
Passo 7
O discriminante
vai determinar o tipo de solução que a gente vai ter:
- Se
: duas raízes reais e distintas. - Se
: duas raízes reais e iguais. - Se
: duas raízes complexas conjugadas.
Passo 8
Dependendo do valor de
, a solução geral da EDO vai ser:
- Duas raízes reais e distintas (
): - Duas raízes reais e iguais (
): - Raízes complexas (
): Onde .
Resposta
Pra resumir, o método para encontrar a solução da EDO
consiste em assumir uma solução exponencial, encontrar a equação característica, resolver para as raízes e, dependendo delas, escrever a solução geral da equação diferencial.