Exercício 2.1.2. Mostre que:
integral raiz16-4 x^2 d x=x2 raiz16-4 x^2+4 arcsen(x2)+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral raiz16 - 4x^2;dx
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição trigonométrica para integrais do tipo raiza^2-x^2. Vamos usar a substituição
x = 2sintheta,
pois assim 16-4x^2=16-16sin^2theta=16cos^2theta.

Passo 2

Aplicando x=2sintheta temos
dx = 2costheta,dtheta,
raiz16-4x^2 = raiz16cos^2theta = 4costheta
(e assumimos costheta>=0 na região considerada). Logo a integral fica
integral raiz16-4x^2;dx = integral 4costheta ,l(2costheta,dthetar) = integral 8cos^2theta;dtheta

Passo 3

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2. Então
integral 8cos^2theta;dtheta = integral 8cdot1+cos2theta2;dtheta = 4integral l(1+cos2thetar),dtheta = 4theta + 2sin2theta + C

Passo 4

Reescrevendo sin2theta = 2sinthetacostheta obtemos
4theta + 2sin2theta + C = 4theta + 4sinthetacostheta + C

Passo 5

Volta à variável x:
theta = arcsin!l(tfracx2r), sintheta = tfracx2, costheta = tfracraiz16-4x^24
Logo
4theta = 4,arcsin!l(tfracx2r), 4sinthetacostheta = 4cdottfracx2cdottfracraiz16-4x^24 = tfracx2,raiz16-4x^2
Somando as partes, a primitiva fica
x2,raiz16-4x^2 ;+; 4,arcsin!l(tfracx2r) + C

Resposta

integral raiz16-4x^2;dx = x2,raiz16-4x^2 ;+; 4,arcsin!l(tfracx2r) + C

Exercícios relacionados