Prove, usando séries convenientes, as afirmações abaixo:
,
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Vamos trabalhar com a sequência
. Temos que mostrar que
tende a zero quando
. As informações dadas são apenas a expressão da sequência; não há valores numéricos adicionais nem figuras.
Passo 2
Defino a sequência
Primeiro vou estudar a razão entre termos consecutivos
, porque isto costuma ser uma boa pista para ver o comportamento assintótico.
Passo 3
Calculo a razão:
Simplificando o fator fatorial:
Portanto
Passo 4
Vou obter uma cota conveniente para
. Usando o Teorema binomial e comparando termo a termo com a série da exponencial, temos
Para cada
o fator
. Assim
Portanto, para todo
,
Passo 5
Use agora essa desigualdade na razão encontrada em
Passo 6
Note que
para todo
. Logo
Passo 7
Para tornar a desigualdade ainda mais simples, observe que para
vale
. Assim
Portanto, para todo
,
Passo 8
A desigualdade do passo anterior mostra que a razão entre termos consecutivos tende a zero:
porque a cota
. Em particular, existe
tal que para todo
se tem
. Por exemplo, bastaria escolher
, pois para
tem
.
Passo 9
Fixado esse
com
para todo
, obtemos que a partir de
a sequência é majorada geometricamente:
Como
quando
, segue que
quando
.
Passo 10
Concluímos que
ou seja,
tende a zero quando
tende a infinito.
Resposta
0