Prove, usando séries convenientes, as afirmações abaixo:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^{n}}{(2 n)!}=0,

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{n}}{(2n)!}=0.
Vamos trabalhar com a sequência a_n=\dfrac{n^{n}}{(2n)!}. Temos que mostrar que a_n tende a zero quando n\to\infty. As informações dadas são apenas a expressão da sequência; não há valores numéricos adicionais nem figuras.

Passo 2

Defino a sequência
a_n=\frac{n^{n}}{(2n)!},\qquad n\ge1.
Primeiro vou estudar a razão entre termos consecutivos a_{n+1}/a_n, porque isto costuma ser uma boa pista para ver o comportamento assintótico.

Passo 3

Calculo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}/(2n+2)!}{n^{n}/(2n)!} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{n^{n}}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
Simplificando o fator fatorial:
\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}.

Passo 4

Vou obter uma cota conveniente para \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}. Usando o Teorema binomial e comparando termo a termo com a série da exponencial, temos
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}.
Para cada k o fator \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}\le1. Assim
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\le \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\le \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e.
Portanto, para todo n\ge1,
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\le e.

Passo 5

Use agora essa desigualdade na razão encontrada em

Passo 6

\frac{a_{n+1}}{a_n} \le (n+1)\,e\cdot\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}.
Note que (2n+1)(2n+2)\ge 4n^2 para todo n\ge1. Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{e(n+1)}{4n^2}.

Passo 7

Para tornar a desigualdade ainda mais simples, observe que para n\ge1 vale n+1\le 2n. Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{e\cdot 2n}{4n^2}=\frac{e}{2n}.
Portanto, para todo n\ge1,
\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{e}{2n}.

Passo 8

A desigualdade do passo anterior mostra que a razão entre termos consecutivos tende a zero:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0,
porque a cota \dfrac{e}{2n}\to0. Em particular, existe N tal que para todo n\ge N se tem \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le \tfrac12. Por exemplo, bastaria escolher N=\lceil e\rceil, pois para n\ge\lceil e\rceil tem \dfrac{e}{2n}\le\tfrac12.

Passo 9

Fixado esse N com \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\tfrac12 para todo n\ge N, obtemos que a partir de N a sequência é majorada geometricamente:
a_{N+k}\le\left(\frac12\right)^k a_N\quad\text{para todo }k\ge0.
Como \left(\tfrac12\right)^k a_N\to0 quando k\to\infty, segue que a_n\to0 quando n\to\infty.

Passo 10

Concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{(2n)!}=0,
ou seja, \dfrac{n^{n}}{(2n)!} tende a zero quando n tende a infinito.

Resposta

0

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