Observamos a radiação proveniente de um feixe de átomos de sódio se aproximar diretamente de nós. A frequência no sistema de repouso dos átomos é f_{0}=5,08 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}, porém a frequência que observamos é f=10,16 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}. Com que velocidade os átomos se aproximam de nós?

Passo 1

Temos radiação de átomos de sódio que em seu repouso emitem com frequência \,f_{0}=5,08\times10^{14}\,\mathrm{Hz}, mas nós observamos \,f=10,16\times10^{14}\,\mathrm{Hz}. A pergunta é a que velocidade v esses átomos se aproximam de nós. Vamos usar o efeito Doppler relativístico para luz.

Passo 2

Para movimento direto de aproximação, a frequência observada relaciona-se à frequência de repouso por
f = f_{0}\,\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},
onde \beta = v/c e c é a velocidade da luz.

Passo 3

Definimos a razão
R = \frac{f}{f_{0}} = \frac{10,16\times10^{14}}{5,08\times10^{14}} = 2.
Elevando ao quadrado,
R^{2} \;=\;\frac{1+\beta}{1-\beta} \quad\Longrightarrow\quad 4 = \frac{1+\beta}{1-\beta}.

Passo 4

Resolvendo a equação em \beta:
4(1-\beta) = 1+\beta \quad\Longrightarrow\quad 4 - 4\beta = 1 + \beta \quad\Longrightarrow\quad 5\beta = 3 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{3}{5} = 0{,}6.

Passo 5

Finalmente, a velocidade dos átomos é
v = \beta\,c = 0{,}6\,c \approx 0{,}6 \times 3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s} = 1{,}8\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

Os átomos se aproximam de nós com velocidade v = 1{,}8\times10^{8}\,\mathrm{m/s} (aproximadamente 0{,}6\,c).

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