Dois prótons (cada um com massa M=1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} ) estão inicialmente se movendo com velocidades de módulos iguais e sentidos opostos. Depois da colisão eles continuam a existir, porém ocorre a produção de um píon neutro ( m= 2,40 \times 10^{-28} \mathrm{~kg} ). Sabendo que os prótons e o píon permanecem em repouso depois da colisão, calcule a velocidade inicial dos prótons. Considere que a energia é conservada na colisão.

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão em que dois prótons, cada um de massa M=1,67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}, movem–se com velocidades de mesmo módulo v e sentidos opostos. Após a colisão, eles e o píon neutro de massa m=2,40\times10^{-28}\,\mathrm{kg} ficam todos em repouso. O que muda é apenas a massa de repouso total, logo vamos usar conservação relativística de energia no referencial do centro de massa.

Passo 2

No referencial do centro de massa, o momento total inicial é nulo, pois os prótons têm velocidades opostas. A energia total inicial é a soma das energias de repouso aumentadas pelo fator relativístico \gamma:
E_{\text{inicial}} = 2\,\gamma\,M\,c^2.

Passo 3

Depois da colisão, todos os três hádrons estão em repouso, então a energia total final é apenas sua energia de repouso:
E_{\text{final}} = 2\,M\,c^2 + m\,c^2 = \bigl(2M + m\bigr)c^2.

Passo 4

Pela conservação de energia, E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}. Assim,
2\,\gamma\,M\,c^2 = \bigl(2M + m\bigr)c^2 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 1 + \frac{m}{2M}.

Passo 5

O fator \gamma relaciona-se à velocidade v por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}.
Substituindo \gamma = 1 + \dfrac{m}{2M}:
\gamma = 1 + \frac{2,40\times10^{-28}}{2\times1,67\times10^{-27}} \approx 1{,}0718,
\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}0718)^2}} \approx 0{,}3602 \quad\Longrightarrow\quad v \approx 0{,}3602\,c.

Passo 6

Tomando c = 3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s}:
v \approx 0{,}3602 \times 3{,}00\times10^8 \approx 1{,}08\times10^8\;\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade inicial de cada próton é aproximadamente
v \approx 1,08\times10^8\;\mathrm{m/s}.

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