Um elétron (massa de repouso de 9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} e carga de -1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C} ) se move em sentido oposto ao de um campo elétrico com módulo E=5,00 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Todas as outras forças são desprezíveis em comparação com a força elétrica. (a) Determine o módulo do momento linear e da aceleração quando v=0,010 c ; 0,90 c e 0,99 c. (b) Calcule a aceleração correspondente considerando uma força com módulo igual ao do item anterior perpendicular à velocidade.

Passo 1

Temos um elétron de massa de repouso m=9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e carga q=-1,60\times10^{-19}\,\mathrm{C} submetido a um campo elétrico de módulo E=5,00\times10^{5}\,\mathrm{N/C}. O objetivo é usar conceitos de relatividade restrita: o momento linear relativístico
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},\quad p=\gamma m v,
e a segunda lei relativística, que dá diferente aceleração conforme a força seja paralela ou perpendicular à velocidade.

Passo 2

A única força relevante é a elétrica de módulo
F = |q|E = (1,60\times10^{-19}\,\mathrm{C})(5,00\times10^{5}\,\mathrm{N/C}) = 8,00\times10^{-14}\,\mathrm{N}.

Passo 3

Para força paralela à velocidade, a relação entre força e aceleração é
F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \gamma^3 m\,a_\parallel,
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a_\parallel = \frac{F}{\gamma^3 m}.

Passo 4

Caso v=0{,}010\,c:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0{,}01)^2}} \approx 1{,}00005,\quad p = \gamma m v \approx (1{,}00005)(9,11\times10^{-31})(0{,}01\cdot3,00\times10^8) =2,73\times10^{-24}\,\mathrm{kg\;m/s},
a_\parallel = \frac{8,00\times10^{-14}}{(1{,}00005)^3(9,11\times10^{-31})} \approx 8,78\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Caso v=0{,}90\,c:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0{,}9)^2}} \approx 2{,}294,\quad p = \gamma m v \approx (2{,}294)(9,11\times10^{-31})(0{,}9\cdot3,00\times10^8) =5,64\times10^{-22}\,\mathrm{kg\;m/s},
a_\parallel = \frac{8,00\times10^{-14}}{(2{,}294)^3(9,11\times10^{-31})} \approx 7,28\times10^{15}\,\mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Caso v=0{,}99\,c:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0{,}99)^2}} \approx 7{,}089,\quad p = \gamma m v \approx (7{,}089)(9,11\times10^{-31})(0{,}99\cdot3,00\times10^8) =1,92\times10^{-21}\,\mathrm{kg\;m/s},
a_\parallel = \frac{8,00\times10^{-14}}{(7{,}089)^3(9,11\times10^{-31})} \approx 2,47\times10^{14}\,\mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Para força perpendicular à velocidade vale
F = \gamma m\,a_\perp,\quad\text{então}\quad a_\perp = \frac{F}{\gamma m}.ã

Passo 8

Usando os \gamma já calculados:
v = 0{,}010\,c :
a_\perp = \frac{8,00\times10^{-14}}{(1{,}00005)(9,11\times10^{-31})} \approx 8,78\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.
v = 0{,}90\,c :
a_\perp = \frac{8,00\times10^{-14}}{(2{,}294)(9,11\times10^{-31})} \approx 3,83\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.
v = 0{,}99\,c :
a_\perp = \frac{8,00\times10^{-14}}{(7{,}089)(9,11\times10^{-31})} \approx 1,24\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a)
Para v=0{,}010\,c: p=2,73\times10^{-24}\,\mathrm{kg\,m/s}, a_\parallel=8,78\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.
Para v=0{,}90\,c: p=5,64\times10^{-22}\,\mathrm{kg\,m/s}, a_\parallel=7,28\times10^{15}\,\mathrm{m/s^2}.
Para v=0{,}99\,c: p=1,92\times10^{-21}\,\mathrm{kg\,m/s}, a_\parallel=2,47\times10^{14}\,\mathrm{m/s^2}.
(b)
Para v=0{,}010\,c: a_\perp=8,78\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.
Para v=0{,}90\,c: a_\perp=3,83\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.
Para v=0{,}99\,c: a_\perp=1,24\times10^{16}\,\mathrm{m/s^2}.

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