Observando os exemplos, converta o número (2000001)_{3} para a base decimal.

Passo 1

O enunciado pede para converter o número em base ternária (2000001)_3 para a base decimal.
Informações dadas: o número é (2000001)_3 (sete algarismos, da esquerda para a direita: 2,0,0,0,0,0,1).
O que precisamos encontrar: o valor desse número quando escrito em base decimal (base 10).

Passo 2

Conceito importante (posicional): em qualquer base b um número com algarismos a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0 representa
\sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^{k}.
Aqui cada a_k é o algarismo da posição k (contando da direita para a esquerda, com a posição mais à direita sendo k=0) e b^{k} é o “peso” dessa posição. No nosso caso b=3 (base ternária) e os algarismos possíveis são 0,1,2. Esta fórmula é a receita: multiplica cada algarismo pelo correspondente poder de 3 e soma tudo.

Passo 3

Identificamos os algarismos e suas posições (da direita para a esquerda):
  • posição k=0: algarismo 1,
  • posição k=1: algarismo 0,
  • posição k=2: algarismo 0,
  • posição k=3: algarismo 0,
  • posição k=4: algarismo 0,
  • posição k=5: algarismo 0,
  • posição k=6: algarismo 2.
Aplicando a fórmula posicional, escrevemos a expansão:
2\cdot 3^{6} + 0\cdot 3^{5} + 0\cdot 3^{4} + 0\cdot 3^{3} + 0\cdot 3^{2} + 0\cdot 3^{1} + 1\cdot 3^{0}.

Passo 4

Calculamos os poderes de 3 necessários, passo a passo:
3^{0}=1,
3^{1}=3,
3^{2}=3\cdot 3=9,
3^{3}=3\cdot 9=27,
3^{4}=3\cdot 27=81,
3^{5}=3\cdot 81=243,
3^{6}=3\cdot 243=729.

Passo 5

Substituímos os valores dos poderes na expansão e simplificamos cada termo:
2\cdot 3^{6} + 0\cdot 3^{5} + \dots + 1\cdot 3^{0} = 2\cdot 729 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1\cdot 1.
Agora multiplicamos e somamos:
2\cdot 729 = 1458,
1\cdot 1 = 1,
1458 + 1 = 1459.

Resposta

1459

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