Observando os exemplos, converta o número (11111)_{5} para a base decimal.

Passo 1

O enunciado pede para converter o número (11111)_{5} para a base decimal.
Informações dadas: o número está escrito na base (5) e seus dígitos, da esquerda para a direita, são 1,1,1,1,1.
Verificamos também que todos os dígitos são válidos para a base (5) (na base (5) os dígitos possíveis vão de 0 a 4).

Passo 2

Vamos recordar a regra geral dos sistemas posicional (essa é a ferramenta que usamos para converter). Se um número em base b tem dígitos a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0 (cada a_k é um dígito), então o valor decimal é
\sum_{k=0}^{n} a_k \, b^{k}.
Explicando as letras: b é a base (aqui b=5), a_k é o dígito na posição k contada a partir da direita (posição 0 é a unidade), e b^{k} é o valor posicional daquela casa.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso número (11111)_{5}: os dígitos (da direita para a esquerda) são
a_0=1,\quad a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=1,\quad a_4=1,
e b=5. Portanto o valor decimal é
\sum_{k=0}^{4} 1\cdot 5^{k} = 1\cdot 5^{0} + 1\cdot 5^{1} + 1\cdot 5^{2} + 1\cdot 5^{3} + 1\cdot 5^{4}.

Passo 4

Calculemos as potências de 5 que aparecem (vou fazer passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora):
5^{0}=1,
5^{1}=5,
5^{2}=25,
5^{3}=125,
5^{4}=625.

Passo 5

Agora multiplico cada potência pelo dígito correspondente (aqui todos os dígitos valem 1, então são os próprios valores das potências):
1\cdot 5^{0}=1,
1\cdot 5^{1}=5,
1\cdot 5^{2}=25,
1\cdot 5^{3}=125,
1\cdot 5^{4}=625.

Passo 6

Somamos todos esses termos, mostrando os somatórios parciais para ficar claro:
625+125=750,
750+25=775,
775+5=780,
780+1=781.
Logo a soma final é \displaystyle 781.

Passo 7

Como verificação alternativa (útil na prova para checar): a soma de potências consecutivas forma uma série geométrica. Para dígitos todos iguais a 1,
\sum_{k=0}^{4} 5^{k} = \frac{5^{5}-1}{5-1}.
Calculando,
5^{5}=3125,\qquad \frac{3125-1}{4}=\frac{3124}{4}=781,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

781

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