Observando os exemplos, converta o número (312)_{4} para a base decimal.

Passo 1

O enunciado pede para converter o número (312)_{4} para a base decimal.
Informações dadas:
  • A base do número é \;4\;.
  • Os dígitos, da esquerda para a direita, são \;3,\;1,\;2\;.
  • Como há três dígitos, os expoentes das potências de 4 vão de 2 (mais significativo) até 0 (menos significativo).

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): em um sistema posicional de base \;b\;, um número com dígitos \;a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0\; representa a soma
\sum_{k=0}^{n} a_k\,b^k.
Aqui:
  • \;b\; é a base (no nosso caso \;b=4);
  • \;a_k\; é o dígito na posição \;k\; (cada \;a_k\; deve satisfazer 0\le a_k<b);
  • \;b^k\; é a potência da base, correspondente ao peso da posição k.
    Isso significa que cada dígito é multiplicado pelo valor da base elevado à potência da sua posição e depois somamos tudo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso número (312)_{4}:
(312)_{4} = 3\cdot 4^{2} + 1\cdot 4^{1} + 2\cdot 4^{0}.

Passo 4

Calcule as potências de \;4\; que aparecem:
4^{0}=1,\qquad 4^{1}=4,\qquad 4^{2}=16.
Observação rápida: qualquer número elevado a 0 vale 1; elevar a 1 retorna o próprio número; 4^{2} é 4 vezes 4.

Passo 5

Multiplique cada dígito pelo peso da sua posição:
3\cdot 4^{2}=3\cdot 16=48,
1\cdot 4^{1}=1\cdot 4=4,
2\cdot 4^{0}=2\cdot 1=2.

Passo 6

Some os resultados das multiplicações:
48 + 4 + 2 = 54.

Passo 7

Dica prática para a prova (método rápido, estilo Horner): percorra os dígitos da esquerda para a direita fazendo multiplicações sucessivas pela base e somando o próximo dígito. Ex.: partindo de 0:
0\cdot 4 + 3 = 3,\quad 3\cdot 4 + 1 = 13,\quad 13\cdot 4 + 2 = 54.
É mais rápido e evita calcular potências separadas.

Resposta

(54)_{10}

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