Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
8 m^3-27 e 8 m^3+27;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões 8m^3-27 e 8m^3+27. O conteúdo usado é fatoração de diferença e soma de cubos, para o qual precisamos da fórmula geral para a^3-b^3 e a^3+b^3.

Passo 2

A teoria diz que, para quaisquer a e b, valem as fórmulas:
a^3 - b^3 = (a - b)l(a^2 + ab + b^2r)
a^3 + b^3 = (a + b)l(a^2 - ab + b^2r)

Passo 3

Para 8m^3 - 27, escrevemos 8m^3 = (2m)^3 e 27 = 3^3. Logo, a=2m e b=3. Aplicando a diferença de cubos:
8m^3 - 27 = (2m - 3)l((2m)^2 + (2m)cdot3 + 3^2r) = (2m - 3)l(4m^2 + 6m + 9r)

Passo 4

Para 8m^3 + 27, anotamos de novo a=2m e b=3, mas agora aplicamos a soma de cubos:
8m^3 + 27 = (2m + 3)l((2m)^2 - (2m)cdot3 + 3^2r) = (2m + 3)l(4m^2 - 6m + 9r)

Resposta

Fatorações:
8m^3 - 27 = (2m - 3)(4m^2 + 6m + 9),
8m^3 + 27 = (2m + 3)(4m^2 - 6m + 9)

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