Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
64 n^3-1 e 64 n^3+1;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões
64n^3-1
e
64n^3+1,
reconhecendo que elas são, respectivamente, uma diferença e uma soma de cubos. Vamos usar as identidades
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
e
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Passo 2

Primeiro, identificamos que
64n^3=(4n)^3
e
1=1^3

Passo 3

Para fatorar
64n^3-1,
aplicamos a fórmula da diferença de cubos com a=4n e b=1:
64n^3-1=(4n-1)l((4n)^2+(4n)cdot1+1^2r) =(4n-1)(16n^2+4n+1)

Passo 4

Para fatorar
64n^3+1,
aplicamos a fórmula da soma de cubos com a=4n e b=1:
64n^3+1=(4n+1)l((4n)^2-(4n)cdot1+1^2r) =(4n+1)(16n^2-4n+1)

Resposta

64n^3-1=(4n-1)(16n^2+4n+1),
64n^3+1=(4n+1)(16n^2-4n+1)

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