Observando-se que as séries abaixo são geométricas verifique em qual intervalo da reta elas convergem e neste caso para qual função de cada uma converge.
a)
b)
c)
d) .
Passo 1
Estamos lidando com quatro séries infinitas do tipo geométrico, e queremos descobrir para quais valores de x elas convergem e, nesse caso, a qual função de x a soma converge. O conteúdo aqui é Séries Geométricas; vamos precisar do critério de convergência e da fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Para a série geométrica geral, se definirmos a razão comum como r, temos a convergência quando |r|<1 e a soma dada por:
Na série (a) temos . Logo, a condição de convergência é . Nesse caso, aplicando a fórmula, a soma é .
Passo 3
Na série (b) temos . A condição de convergência é , ou seja, . A soma fica .
Na série (d) temos . A condição é , ou seja, |x|>1. A soma é 11-tfrac1x = xx-1.
Resposta
a) Converge para |x|<1 e soma-se para 1/(1-x).
b) Converge para |x|<1 e soma-se para 1/(1+x).
c) Converge para -2<x<0 e soma-se para -1/x.
d) Converge para |x|>1 e soma-se para x/(x-1).