Observando-se que as séries abaixo são geométricas verifique em qual intervalo da reta elas convergem e neste caso para qual função de x cada uma converge.
a) sumn=0^infty x^n
b) sumn=0^infty(-1)^n x^n
c) sumn=0^infty(x+1)^n
d) sumn=0^infty 1x^n.

Passo 1

Estamos lidando com quatro séries infinitas do tipo geométrico, e queremos descobrir para quais valores de x elas convergem e, nesse caso, a qual função de x a soma converge. O conteúdo aqui é Séries Geométricas; vamos precisar do critério de convergência e da fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Para a série geométrica geral, se definirmos a razão comum como r, temos a convergência quando |r|<1 e a soma dada por:
sumn=0^infty r^n = 11-r, para |r|<1
Na série (a) temos r = x. Logo, a condição de convergência é |x|<1. Nesse caso, aplicando a fórmula, a soma é 11-x.

Passo 3

Na série (b) temos r = -x. A condição de convergência é |-x|<1, ou seja, |x|<1. A soma fica 11-(-x) = 11+x.

Passo 4

Na série © temos r = x+1. A convergência exige |x+1|<1, isto é, -2. A soma é 11-(x+1) = 1-x = -1x.

Passo 5

Na série (d) temos r = 1x. A condição é l|tfrac1xr|<1, ou seja, |x|>1. A soma é 11-tfrac1x = xx-1.

Resposta

a) Converge para |x|<1 e soma-se para 1/(1-x).
b) Converge para |x|<1 e soma-se para 1/(1+x).
c) Converge para -2<x<0 e soma-se para -1/x.
d) Converge para |x|>1 e soma-se para x/(x-1).

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