Uma superfície
é representada pela equação vetorial
Mostrar que
é uma parte de uma superfície de revolução.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície paramétrica ‘r(u,v) = cos v \vec{i} + sen v \vec{j} + u \vec{k}’ com 0 ≤ u ≤ 4 e 0 ≤ v ≤ 2π, e pede para mostrar que ela é parte de uma superfície de revolução. Vamos usar a definição de superfície de revolução: é aquela obtida ao girar uma curva plana (geratriz) em torno de um eixo fixo.
Passo 2
Da parametrização temos x = cos v, y = sen v e z = u. Logo, eliminando os parâmetros x e y satisfazem x² + y² = cos²v + sen²v = 1, sem envolver u. Isso mostra que S está contida no cilindro de raio 1 em torno do eixo z, definido por x² + y² = 1.
Passo 3
Para ver a revolução, escolhemos como geratriz a curva plana no plano y=0 dada por γ(u) = (1,0,u), com 0 ≤ u ≤ 4. Essa reta está a uma distância fixa 1 do eixo z e se estende na direção z.
Passo 4
A rotação em torno do eixo z por um ângulo v é dada pela matriz R_z(v) que leva (x,y,z) em (x cos v − y sen v, x sen v + y cos v, z). Aplicando R_z(v) a γ(u) = (1,0,u) obtemos (cos v, sen v, u), exatamente a parametrização de S:
Passo 5
Por isso S coincide com a superfície gerada pela rotação de γ(u) em torno do eixo z, i.e. é parte de um cilindro, que é um exemplo clássico de superfície de revolução.
Resposta
S é uma parte do cilindro x² + y² = 1, obtido pela revolução da reta γ(u) = (1,0,u) em torno do eixo z.