Uma superfície S é representada pela equação vetorial
r(u, v)=cos v i+sen v j+u bark, 0 <= u <= 4,0 <= v <= 2 pi
Mostrar que S é uma parte de uma superfície de revolução.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície paramétrica ‘r(u,v) = cos v \vec{i} + sen v \vec{j} + u \vec{k}’ com 0 ≤ u ≤ 4 e 0 ≤ v ≤ 2π, e pede para mostrar que ela é parte de uma superfície de revolução. Vamos usar a definição de superfície de revolução: é aquela obtida ao girar uma curva plana (geratriz) em torno de um eixo fixo.

Passo 2

Da parametrização temos x = cos v, y = sen v e z = u. Logo, eliminando os parâmetros x e y satisfazem x² + y² = cos²v + sen²v = 1, sem envolver u. Isso mostra que S está contida no cilindro de raio 1 em torno do eixo z, definido por x² + y² = 1.

Passo 3

Para ver a revolução, escolhemos como geratriz a curva plana no plano y=0 dada por γ(u) = (1,0,u), com 0 ≤ u ≤ 4. Essa reta está a uma distância fixa 1 do eixo z e se estende na direção z.

Passo 4

A rotação em torno do eixo z por um ângulo v é dada pela matriz R_z(v) que leva (x,y,z) em (x cos v − y sen v, x sen v + y cos v, z). Aplicando R_z(v) a γ(u) = (1,0,u) obtemos (cos v, sen v, u), exatamente a parametrização de S:

Passo 5

Por isso S coincide com a superfície gerada pela rotação de γ(u) em torno do eixo z, i.e. é parte de um cilindro, que é um exemplo clássico de superfície de revolução.

Resposta

S é uma parte do cilindro x² + y² = 1, obtido pela revolução da reta γ(u) = (1,0,u) em torno do eixo z.

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