Determine o triedro de Frenet, a curvatura e a torção em cada instante da curva:
Passo 1
A questão pede o triedro de Frenet (T, N, B), a curvatura κ e a torção τ para duas curvas em ℝ³. Vamos usar as fórmulas:
– Vetor tangente unitário:
– Curvatura:
– Vetor normal:
– Binormal:
– Torção:
– Vetor tangente unitário:
– Curvatura:
– Vetor normal:
– Binormal:
– Torção:
Passo 2
Para
: calcule
com velocidade
. Logo
Passo 3
Ainda em
:
. Então
Curvatura
$$\kappa_\alpha=\frac{|T’_\alpha|}{|\alpha’|}=\frac{16/5}{5}=\frac{16}{25}.
$$
Passo 4
Ainda em
:
Binormal pelo produto vetorial
Binormal pelo produto vetorial
$$B_\alpha=T_\alpha\times N_\alpha=(-\tfrac{3}{5}\cos4t,;\tfrac{4}{5},;\tfrac{3}{5}\sin4t).
$$
Passo 5
Para
:
e
. Logo
$$T_\beta=\frac{1}{2\cosh t}(\sqrt2,;et,;-e{-t}).
$$
Passo 6
Ainda em
:
. O produto
tem norma
. Curvatura
$$\kappa_\beta=\frac{2\sqrt2\cosh t}{(2\cosh t)3}=\frac{\sqrt2}{4\cosh2t}.
$$
Passo 7
Ainda em
:
Binormal
Binormal
$$B_\beta=\frac{\beta’\times\beta’’}{|\beta’\times\beta’’|}=(\tfrac{1}{\sqrt2\cosh t},;-\tfrac{e^{-t}}{2\cosh t},;\tfrac{e^t}{2\cosh t}).
$$
Resposta
Para α(t):
T_α(t)=\frac{1}{5}(4\cos4t,3,-4\sin4t),
N_α(t)=(-\sin4t,0,-\cos4t),
B_α(t)=(-\tfrac{3}{5}\cos4t,\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\sin4t),
κ_α=\tfrac{16}{25},
τ_α=\tfrac{12}{25}.
T_α(t)=\frac{1}{5}(4\cos4t,3,-4\sin4t),
N_α(t)=(-\sin4t,0,-\cos4t),
B_α(t)=(-\tfrac{3}{5}\cos4t,\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\sin4t),
κ_α=\tfrac{16}{25},
τ_α=\tfrac{12}{25}.
Para β(t):
T_β(t)=\frac{1}{2\cosh t}(\sqrt2, e^t, -e^{-t}),
N_β(t)=(-\tanh t,\tfrac{1}{\sqrt2\cosh t},\tfrac{1}{\sqrt2\cosh t}),
B_β(t)=(\tfrac{1}{\sqrt2\cosh t}, -\tfrac{e^{-t}}{2\cosh t}, \tfrac{e^t}{2\cosh t}),
κ_β=\tfrac{\sqrt2}{4\cosh^2t},
τ_β=-\tfrac{\sqrt2}{4\cosh^2t}.
T_β(t)=\frac{1}{2\cosh t}(\sqrt2, e^t, -e^{-t}),
N_β(t)=(-\tanh t,\tfrac{1}{\sqrt2\cosh t},\tfrac{1}{\sqrt2\cosh t}),
B_β(t)=(\tfrac{1}{\sqrt2\cosh t}, -\tfrac{e^{-t}}{2\cosh t}, \tfrac{e^t}{2\cosh t}),
κ_β=\tfrac{\sqrt2}{4\cosh^2t},
τ_β=-\tfrac{\sqrt2}{4\cosh^2t}.