Enumere todos os testes para verificação de convergência e de divergência de séries.

Passo 1

O enunciado pede para listar todos os testes de convergência e divergência de séries numéricas. O conteúdo é a análise de séries e vamos precisar conhecer cada critério clássico usado em cálculo de séries.

Passo 2

O teste do n-ésimo termo ou critério da divergência: se o termo geral an não tende a zero, a série sum an diverge.

Passo 3

O teste de comparação direta: comparamos an com uma série de referência bn de que já sabemos o comportamento, verificando se 0 <= an <= bn.

Passo 4

O teste de comparação por limites: se existe L=limntoinfty an/bn e 0, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento.

Passo 5

O teste da razão (D’Alembert): analisamos limntoinfty |an+1/an|=L. Se L<1 converge, se L>1 diverge, e se L=1 é inconclusivo.

Passo 6

O teste da raiz (Cauchy): analisamos limntoinfty raiz[n]|an|=L. As conclusões são iguais às do teste da razão.

Passo 7

O teste da integral: com an=f(n) e f positva e decrescente, comparamos sum an com a integral integral f(x)dx.

Passo 8

O teste de Leibniz (séries alternantes): se os termos bn>=0 decrescem e bnto0, então sum(-1)^n bn converge.

Passo 9

O critério de convergência absoluta: se sum|an| converge, então sum an converge; caso contrário, pode ser condicional.

Passo 10

O teste de condensação de Cauchy: para an decrescente e positiva, sum an e sum2^n a2^n têm o mesmo comportamento.

Passo 11

O teste de Abel e o teste de Dirichlet: usadas para séries do tipo sum an bn, com hipóteses de soma parcial limitada e de bn monótono ou de soma parcial limitada.

Passo 12

O teste de Raabe (ou de Bertrand) e o teste de Gauss são refinamentos do critério da razão para casos limites.

Resposta

Os principais testes de convergência e divergência de séries são: teste do n-ésimo termo; teste de comparação direta; teste de comparação por limites; teste da razão; teste da raiz; teste da integral; teste de Leibniz; convergência absoluta vs. condicional; teste de condensação de Cauchy; teste de Abel; teste de Dirichlet; teste de Raabe; teste de Gauss.

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