Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a_{0}=a_{1}=1 e (n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}=\frac{2}{n!} para n \geq 0.

Passo 1

O enunciado define uma sequência (a_n) por
a_{0}=a_{1}=1, \qquad (n+2)(n+1)\,a_{n+2}+a_{n}=\frac{2}{n!}\quad(n\ge0).
Pede-se calcular os sete primeiros termos a_{0},a_{1},\dots,a_{6}, conjecturar uma expressão geral a_{n} e depois provar essa fórmula por indução finita.

Passo 2

Vamos aplicar a relação de recorrência para obter a_{2},a_{3},\dots,a_{6}.
Para n=0:
2\cdot1\,a_{2}+a_{0}=\frac{2}{0!} \quad\Longrightarrow\quad 2a_{2}+1=2 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}=\frac12.
Para n=1:
3\cdot2\,a_{3}+a_{1}=\frac{2}{1!} \quad\Longrightarrow\quad 6a_{3}+1=2 \quad\Longrightarrow\quad a_{3}=\frac16.
Para n=2:
4\cdot3\,a_{4}+a_{2}=\frac{2}{2!} \quad\Longrightarrow\quad 12a_{4}+\tfrac12=1 \quad\Longrightarrow\quad a_{4}=\frac1{24}.
Para n=3:
5\cdot4\,a_{5}+a_{3}=\frac{2}{3!} \quad\Longrightarrow\quad 20a_{5}+\tfrac16=\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad a_{5}=\frac1{120}.
Para n=4:
6\cdot5\,a_{6}+a_{4}=\frac{2}{4!} \quad\Longrightarrow\quad 30a_{6}+\tfrac1{24}=\tfrac1{12} \quad\Longrightarrow\quad a_{6}=\frac1{720}.
Logo os sete primeiros termos são
a_{0}=1,\; a_{1}=1,\; a_{2}=\tfrac12,\; a_{3}=\tfrac16,\; a_{4}=\tfrac1{24},\; a_{5}=\tfrac1{120},\; a_{6}=\tfrac1{720}.

Passo 3

Observando os valores calculados, percebemos que
a_{n}=\frac1{n!} \quad\text{para }n=0,1,\dots,6.
O palpite natural é que essa fórmula vale para todo n\ge0.

Passo 4

Mostramos por indução finita que a_{n}=1/n! para todo n\ge0.
Base da indução:
Para n=0 e n=1 temos a_{0}=1=1/0! e a_{1}=1=1/1!, ok.
Passo indutivo:
Suponha que a_{k}=\tfrac1{k!} e a_{k+1}=\tfrac1{(k+1)!} para algum k\ge0.
Usando a recorrência com n=k:
(k+2)(k+1)\,a_{k+2}+a_{k} =\frac{2}{k!} \quad\Longrightarrow\quad (k+2)(k+1)\,a_{k+2} =\frac{2}{k!}-\frac1{k!} =\frac1{k!}
\Longrightarrow\quad a_{k+2} =\frac{1}{k!\,(k+2)(k+1)} =\frac{1}{(k+2)!}.
Isso completa a indução.

Resposta

a_{n}=\frac{1}{n!}\quad(n\ge0).

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