Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
e
para
.
Passo 1
O enunciado define uma sequência
por
Pede-se calcular os sete primeiros termos
, conjecturar uma expressão geral
e depois provar essa fórmula por indução finita.
Passo 2
Vamos aplicar a relação de recorrência para obter
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Logo os sete primeiros termos são
Passo 3
Observando os valores calculados, percebemos que
O palpite natural é que essa fórmula vale para todo
.
Passo 4
Mostramos por indução finita que
para todo
.
Base da indução:
Para e
temos
e
, ok.
Para
Passo indutivo:
Suponha que e
para algum
.
Usando a recorrência com :
Suponha que
Usando a recorrência com
Isso completa a indução.