(3 pontos) Transforme
Q em uma equação homogênea e a resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para transformá-la em uma equação homogênea e resolvê-la. Aqui vamos usar duas ideias principais: (i) passar a equação para a forma
, (ii) eliminar os termos constantes por translação de variáveis, convertendo-a em uma equação homogênea de grau 1, e então (iii) aplicar a substituição
.
Passo 2
Passamos para a forma
. Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 3
Queremos eliminar as constantes nos polinômios do numerador e do denominador, fazendo
de modo que os termos independentes em
e
sejam zero. Isso dá o sistema
Resolvendo, obtemos
e
. Logo definimos
Substituindo, a equação vira
que é homogênea de grau 1 em
.
Passo 4
Como a razão do lado direito depende só de
, fazemos
. Daí
Substituindo na equação, obtemos
Passo 5
Isolando
, temos
Logo
Passo 6
Separamos as variáveis:
Passo 7
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos frações parciais:
com
,
. Então
e no lado direito
.
Passo 8
Igualando e reagrupando constantes,
Passo 9
Voltando às variáveis originais:
Da relação
resulta, após simplificar
, a forma implícita
Resposta
ou equivalente
que é a solução geral da equação dada.