(3 pontos) Transforme
(2 x-y+4) d y=-(x-2 y+5) d x
Q em uma equação homogênea e a resolva.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x - y + 4)\,dy = -\,(x - 2y + 5)\,dx
e pede para transformá-la em uma equação homogênea e resolvê-la. Aqui vamos usar duas ideias principais: (i) passar a equação para a forma \tfrac{dy}{dx} = \dots, (ii) eliminar os termos constantes por translação de variáveis, convertendo-a em uma equação homogênea de grau 1, e então (iii) aplicar a substituição v = Y/X.

Passo 2

Passamos para a forma dy/dx. Dividindo ambos os lados por dx(2x - y + 4), obtemos
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{x - 2y + 5}{2x - y + 4}.

Passo 3

Queremos eliminar as constantes nos polinômios do numerador e do denominador, fazendo
x = X + x_0, \quad y = Y + y_0
de modo que os termos independentes em
2x - y + 4 = 2(X + x_0) - (Y + y_0) + 4
e
x - 2y + 5 = (X + x_0) - 2(Y + y_0) + 5
sejam zero. Isso dá o sistema
2x_0 - y_0 + 4 = 0, \quad x_0 - 2y_0 + 5 = 0.
Resolvendo, obtemos x_0 = -1 e y_0 = 2. Logo definimos
X = x - (-1) = x + 1, \quad Y = y - 2.
Substituindo, a equação vira
\frac{dY}{dX} = -\,\frac{X - 2Y}{2X - Y},
que é homogênea de grau 1 em (X,Y).

Passo 4

Como a razão do lado direito depende só de Y/X, fazemos v = Y/X. Daí
Y = vX \quad\Longrightarrow\quad \frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}.
Substituindo na equação, obtemos
v + X\frac{dv}{dX} = -\,\frac{X - 2(vX)}{2X - vX} = -\,\frac{1 - 2v}{2 - v}.

Passo 5

Isolando dv/dX, temos
X\frac{dv}{dX} = -\,\frac{1 - 2v}{2 - v} \;-\; v = \frac{-\,(1 - 2v) - v(2 - v)}{2 - v} = \frac{v^2 - 1}{2 - v}.
Logo
\frac{dv}{dX} = \frac{v^2 - 1}{X(2 - v)}.

Passo 6

Separamos as variáveis:
\frac{2 - v}{v^2 - 1}\,dv = \frac{dX}{X}.

Passo 7

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos frações parciais:
\frac{2 - v}{v^2 - 1} = \frac{A}{v - 1} + \frac{B}{v + 1},
com A = \tfrac12, B = -\tfrac32. Então
\int \frac{2 - v}{v^2 - 1}\,dv = \frac12\ln\lvert v - 1\rvert - \frac32\ln\lvert v + 1\rvert + C
e no lado direito \displaystyle \int \frac{dX}{X} = \ln\lvert X\rvert + C.

Passo 8

Igualando e reagrupando constantes,
\frac12\ln\lvert v - 1\rvert - \frac32\ln\lvert v + 1\rvert = \ln\lvert X\rvert + C' \quad\Longrightarrow\quad \frac{v - 1}{(v + 1)^3} = C\,X^2.

Passo 9

Voltando às variáveis originais:
v = \frac{Y}{X} = \frac{y - 2}{x + 1}, \quad X = x + 1, \quad Y = y - 2.
Da relação \tfrac{v - 1}{(v + 1)^3} = C\,X^2 resulta, após simplificar (x+1)^2, a forma implícita
\frac{y - x - 3}{\bigl(x + y - 1\bigr)^3} = C.

Resposta

\boxed{\frac{y - x - 3}{\bigl(x + y - 1\bigr)^3} = C},
ou equivalente
y - x - 3 = C\,(x + y - 1)^3,
que é a solução geral da equação dada.

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