Fatore as seguintes expressões quadráticas
x^4-2 x^2+1 e x^6-4 x^3-21

Passo 1

O enunciado pede para fatorar duas expressões polinomiais usando ideias de quadrática em outra variável (substituição). Vamos usar o conteúdo de fatoração de quadráticas e substituição para simplificar.

Passo 2

Para fatorar x^4 - 2x^2 + 1, reconhecemos que é uma quadrática em x^2. Definimos u = x^2, então a expressão vira u^2 - 2u + 1. Aplicando a fórmula de fatoração de quadráticas perfeitas, temos u^2 - 2u + 1 = (u - 1)^2. Voltando a x, fica (x^2 - 1)^2, que por sua vez se fatora como (x - 1)^2 (x + 1)^2.

Passo 3

Para fatorar x^6 - 4x^3 - 21, fazemos substituição análoga: seja t = x^3. A expressão se torna t^2 - 4t - 21. Buscando dois números cujo produto é -21 e soma é -4, temos -7 e +3. Assim, t^2 - 4t - 21 = (t - 7)(t + 3). Voltando a x, obtemos (x^3 - 7)(x^3 + 3).

Resposta

Para as fatorações finais:
x^4 - 2x^2 + 1 = (x - 1)^2 (x + 1)^2,
x^6 - 4x^3 - 21 = (x^3 - 7)(x^3 + 3)

Exercícios relacionados