Observe as seguintes afirmações sobre o produto vetorial
(I)
(II)
é perpendicular ao plano formado por
e
(III) O módulo de
não depende do ângulo entre
e
Assinale a alternativa que julga CORRETAMENTE as afirmações I, II e III e nesta ordem:
a) VVF
b) VFV
c) FVV
d) FFV
(I)
(II)
(III) O módulo de
a) VVF
b) VFV
c) FVV
d) FFV
Passo 1
O enunciado dá o produto vetorial
e apresenta três afirmações sobre esse produto. Ele pede que julguemos, na ordem I, II e III, se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e escolha a alternativa correta entre as opções dadas.
As afirmações são:
(I)
(II) é perpendicular ao plano formado por
e
(III) O módulo de não depende do ângulo entre
e
(I)
(II)
(III) O módulo de
Passo 2
Vamos lembrar as propriedades fundamentais do produto vetorial (aqui faço uma mini-aula curtinha e prática para você levar pra prova):
Definição geométrica e módulo: o produto vetorial
é um vetor
cuja magnitude é dada por
onde
é o ângulo entre
e
(com
). Aqui,
e
são os módulos (comprimentos) dos vetores
e
.
Direção:
é perpendicular a ambos
e
; a orientação (sentido) é dada pela regra da mão direita (ou pela convenção do determinante).
Propriedade algébrica importante (anti‑comutatividade):
Vou usar essas três coisas (fórmula do módulo, perpendicularidade e anti‑comutatividade) para avaliar cada afirmação.
Passo 3
Analisando a afirmação (I):
.
Explicação: essa é justamente a propriedade anti‑comutativa do produto vetorial. Intuitivamente, trocar a ordem inverte o sentido do vetor resultante (regra da mão direita). Podemos ver com um exemplo simples para fixar:
Exemplo numérico: tome
e
. Então
enquanto
Logo
. Conclusão: a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação (II):
é perpendicular ao plano formado por
e
.
Explicação e demonstração algebraica simples: ser perpendicular ao plano formado por
e
significa, em particular, ser perpendicular a
e a
. Uma forma direta de mostrar isso é verificar que o produto escalar entre
e
é zero (e o mesmo com
).
Escrevendo componentes: seja
e
. Então
Agora o produto escalar
é
Distribuindo e agrupando os termos, cada termo se cancela com outro, resultando em zero (faça esse desenvolvimento passo a passo na folha da prova se precisar — os pares se anulam). Portanto
De modo análogo
. Assim
é perpendicular a
e a
, logo é perpendicular ao plano por eles formado (quando esse plano está definido). Conclusão: a afirmação (II) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação (III): "O módulo de
não depende do ângulo entre
e
".
Usei antes a fórmula do módulo:
onde
é o ângulo entre
e
. Vê-se claramente que
depende de
, isto é, depende do ângulo
. Exemplos para ver na prática:
- Se
(vetores paralelos no mesmo sentido), e então . - Se
( ), e (máximo).
Portanto a afirmação (III) é falsa: o módulo depende sim do ângulo entre os vetores.
Passo 6
Juntando os resultados:
(I) verdadeira, (II) verdadeira, (III) falsa → sequência V V F.
(I) verdadeira, (II) verdadeira, (III) falsa → sequência V V F.
Agora escolhemos a alternativa que corresponde a VVF.
Resposta
a) VVF