Observe as seguintes afirmações sobre o produto vetorial \vec{A} \times \vec{B}=\vec{R}
(I) \vec{A} \times \vec{B}=-\vec{B} \times \vec{A}
(II) \overrightarrow{\mathrm{R}} é perpendicular ao plano formado por \overrightarrow{\mathrm{A}} e \overrightarrow{\mathrm{B}}
(III) O módulo de \overrightarrow{\mathrm{R}} não depende do ângulo entre \overrightarrow{\mathrm{A}} e \overrightarrow{\mathrm{B}}
Assinale a alternativa que julga CORRETAMENTE as afirmações I, II e III e nesta ordem:
a) VVF
b) VFV
c) FVV
d) FFV

Passo 1

O enunciado dá o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B}=\vec{R} e apresenta três afirmações sobre esse produto. Ele pede que julguemos, na ordem I, II e III, se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e escolha a alternativa correta entre as opções dadas.
As afirmações são:
(I) \vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}
(II) \overrightarrow{R} é perpendicular ao plano formado por \overrightarrow{A} e \overrightarrow{B}
(III) O módulo de \overrightarrow{R} não depende do ângulo entre \overrightarrow{A} e \overrightarrow{B}

Passo 2

Vamos lembrar as propriedades fundamentais do produto vetorial (aqui faço uma mini-aula curtinha e prática para você levar pra prova):
Definição geométrica e módulo: o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é um vetor \vec{R} cuja magnitude é dada por
|\vec{R}| = |\vec{A}|\;|\vec{B}|\;\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} (com 0\le\theta\le\pi). Aqui, |\vec{A}| e |\vec{B}| são os módulos (comprimentos) dos vetores \vec{A} e \vec{B}.
Direção: \vec{R} é perpendicular a ambos \vec{A} e \vec{B}; a orientação (sentido) é dada pela regra da mão direita (ou pela convenção do determinante).
Propriedade algébrica importante (anti‑comutatividade):
\vec{A}\times\vec{B}=-\,\vec{B}\times\vec{A}.
Vou usar essas três coisas (fórmula do módulo, perpendicularidade e anti‑comutatividade) para avaliar cada afirmação.

Passo 3

Analisando a afirmação (I): \vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}.
Explicação: essa é justamente a propriedade anti‑comutativa do produto vetorial. Intuitivamente, trocar a ordem inverte o sentido do vetor resultante (regra da mão direita). Podemos ver com um exemplo simples para fixar:
Exemplo numérico: tome \vec{A}=(1,0,0) e \vec{B}=(0,1,0). Então
\vec{A}\times\vec{B}=(0,0,1),
enquanto
\vec{B}\times\vec{A}=(0,0,-1) = - (0,0,1).
Logo \vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}. Conclusão: a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação (II): \overrightarrow{R} é perpendicular ao plano formado por \overrightarrow{A} e \overrightarrow{B}.
Explicação e demonstração algebraica simples: ser perpendicular ao plano formado por \vec{A} e \vec{B} significa, em particular, ser perpendicular a \vec{A} e a \vec{B}. Uma forma direta de mostrar isso é verificar que o produto escalar entre \vec{A} e \vec{A}\times\vec{B} é zero (e o mesmo com \vec{B}).
Escrevendo componentes: seja \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z). Então
\vec{A}\times\vec{B}=\bigl(A_yB_z-A_zB_y,\;A_zB_x-A_xB_z,\;A_xB_y-A_yB_x\bigr).
Agora o produto escalar \vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) é
A_x(A_yB_z-A_zB_y)+A_y(A_zB_x-A_xB_z)+A_z(A_xB_y-A_yB_x).
Distribuindo e agrupando os termos, cada termo se cancela com outro, resultando em zero (faça esse desenvolvimento passo a passo na folha da prova se precisar — os pares se anulam). Portanto
\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=0.
De modo análogo \vec{B}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=0. Assim \vec{A}\times\vec{B} é perpendicular a \vec{A} e a \vec{B}, logo é perpendicular ao plano por eles formado (quando esse plano está definido). Conclusão: a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação (III): "O módulo de \overrightarrow{R} não depende do ângulo entre \overrightarrow{A} e \overrightarrow{B}".
Usei antes a fórmula do módulo:
|\vec{R}| = |\vec{A}|\;|\vec{B}|\;\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}. Vê-se claramente que |\vec{R}| depende de \sin\theta, isto é, depende do ângulo \theta. Exemplos para ver na prática:
  • Se \theta=0 (vetores paralelos no mesmo sentido), \sin\theta=0 e então |\vec{R}|=0.
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{2} ( 90^\circ), \sin\theta=1 e |\vec{R}|=|\vec{A}||\vec{B}| (máximo).
Portanto a afirmação (III) é falsa: o módulo depende sim do ângulo entre os vetores.

Passo 6

Juntando os resultados:
(I) verdadeira, (II) verdadeira, (III) falsa → sequência V V F.
Agora escolhemos a alternativa que corresponde a VVF.

Resposta

a) VVF

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