Dados os vetores vec{A} e vec{B} expressos em coordenadas cartesianas:
\vec{A}=-\hat{\imath}+5 \hat{\jmath}-\hat{k} \text { e } \vec{B}=4 \hat{\imath}+5 \hat{\jmath}-2 \hat{k}
Determine vec{R} tal que:
vec{R}=2(vec{A}-vec{B})+(vec{A} \cdot vec{B}) \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{A} e \vec{B} e pede para determinar \vec{R} definida por
\vec{R}=2(\vec{A}-\vec{B})+(\vec{A}\cdot\vec{B})\hat{\jmath}.
As informações fornecidas são:
\vec{A}=-\hat{\imath}+5\hat{\jmath}-\hat{k} \quad\text{e}\quad \vec{B}=4\hat{\imath}+5\hat{\jmath}-2\hat{k}.
Ou seja, em componentes temos \vec{A}=( -1,\,5,\,-1 ) e \vec{B}=( 4,\,5,\,-2 ). O objetivo é calcular passo a passo a expressão acima e obter \vec{R}.

Passo 2

Primeiro calculemos a diferença \vec{A}-\vec{B}. Subtração de vetores é feita componente a componente:
\vec{A}-\vec{B}=(A_x-B_x,\;A_y-B_y,\;A_z-B_z).
Aplicando às componentes:
\vec{A}-\vec{B}=(-1-4,\;5-5,\;-1-(-2)) = (-5,\;0,\;1).

Passo 3

Agora multiplicamos essa diferença pelo escalar 2. Multiplicação por escalar consiste em multiplicar cada componente pelo escalar:
2(\vec{A}-\vec{B})=2\cdot(-5,\;0,\;1)=(-10,\;0,\;2).

Passo 4

Precisamos também do produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}. A definição de produto escalar em coordenadas cartesianas é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z,
onde A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} e B_x,B_y,B_z as de \vec{B}. Calculando:
\vec{A}\cdot\vec{B}=(-1)\cdot 4 + 5\cdot 5 + (-1)\cdot(-2) = -4 + 25 + 2 = 23.

Passo 5

O termo (\vec{A}\cdot\vec{B})\hat{\jmath} é simplesmente o escalar 23 na direção \hat{\jmath}, isto é, o vetor
(\vec{A}\cdot\vec{B})\hat{\jmath}=(0,\;23,\;0).

Passo 6

Finalmente somamos os dois vetores obtidos: 2(\vec{A}-\vec{B}) e (\vec{A}\cdot\vec{B})\hat{\jmath}. Soma componente a componente:
(-10,\;0,\;2) + (0,\;23,\;0) = (-10,\;23,\;2).
Escrevendo com vetores unitários:
\vec{R} = -10\hat{\imath} + 23\hat{\jmath} + 2\hat{k}.

Resposta

\vec{R}=-10\hat{\imath}+23\hat{\jmath}+2\hat{k}

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