(Valor:
pt.) (Concurso - - IF-S.2024-Adaptada) Considere uma uma distribuição de carga homogênea e esféricamente simétrica, de raio
e carga total
. De acordo com a lei de Gauss, encontre o campo eletrostático, dentro (
) e fora (
) da esfera, bem como os respectivos potenciais eletrostáticos nessas regiões.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente três coisas: encontrar o campo eletrostático para
(dentro da esfera) e para
(fora da esfera), e encontrar os potenciais eletrostáticos correspondentes nessas duas regiões.
As informações dadas são: esfera de raio , carga total
, distribuição homogênea e esfericamente simétrica (ou seja, densidade de carga constante dentro da esfera), e precisamos usar a lei de Gauss. Vou assumir a convenção usual
para o potencial.
As informações dadas são: esfera de raio
Passo 2
Primeiro vamos escrever a densidade volumétrica de carga (carga por unidade de volume). Como a carga é homogênea dentro da esfera de raio
,
Explicação rápida: a densidade
é a carga total dividida pelo volume da esfera, e o volume da esfera é
. Portanto
tem unidades de carga por volume.
Passo 3
Recordando a lei de Gauss (em forma integral): a carga total
contida dentro de uma superfície gaussiana qualquer está relacionada ao campo por
Explicação didática:
é o fluxo elétrico pela superfície fechada;
é a permissividade do vácuo. Para uma distribuição esfericamente simétrica e escolhendo uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada na mesma origem, o campo tem direção radial e módulo constante sobre a superfície, então
e o lado esquerdo vira
.
Passo 4
Campo fora da esfera (
). Aqui toda a carga
está dentro da superfície gaussiana, logo
. Aplicando Gauss:
Isolando
,
e a direção é radial para fora, então em forma vetorial
Comentário prático: fora da esfera o campo é exatamente igual ao de uma carga pontual
colocada na origem.
Passo 5
Campo dentro da esfera (
). A carga encerrada pela superfície gaussiana de raio
é a carga do volume de raio
:
Substituindo
de antes,
Aplicando Gauss (mesmo raciocínio do Passo 4):
Isolando
,
e em forma vetorial
Explicação: dentro da esfera o campo cresce linearmente com
porque a carga eficaz contida cresce com
enquanto a área da superfície cresce com
, sobrando um fator proporcional a
.
Passo 6
Potencial fora da esfera (
). A relação entre campo elétrico radial e potencial (escalar) é
Com
e a condição
, integramos de
até
:
Fazendo a integral obtemos
Isso coincide com o potencial de uma carga pontual
na origem.
Passo 7
Potencial dentro da esfera (
). Podemos calcular usando continuidade do potencial em
e integrando o campo entre
e
. Primeiro o valor em
(usando fórmula externa):
Agora, para
,
Fazendo a integral:
Portanto
Simplificando (colocando em forma mais compacta),
Verificação rápida: em
isso dá
, que coincide com a expressão externa, garantindo continuidade do potencial.
Resposta
Campo para
:
Campo para
:
Potencial para
:
Potencial para
: