(Valor: \mathbf{1 , 0} pt.) (Concurso - - IF-S.2024-Adaptada) Considere uma uma distribuição de carga homogênea e esféricamente simétrica, de raio R e carga total Q. De acordo com a lei de Gauss, encontre o campo eletrostático, dentro ( r<R ) e fora ( r \geq R ) da esfera, bem como os respectivos potenciais eletrostáticos nessas regiões.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente três coisas: encontrar o campo eletrostático para r<R (dentro da esfera) e para r\ge R (fora da esfera), e encontrar os potenciais eletrostáticos correspondentes nessas duas regiões.
As informações dadas são: esfera de raio R, carga total Q, distribuição homogênea e esfericamente simétrica (ou seja, densidade de carga constante dentro da esfera), e precisamos usar a lei de Gauss. Vou assumir a convenção usual V(\infty)=0 para o potencial.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a densidade volumétrica de carga (carga por unidade de volume). Como a carga é homogênea dentro da esfera de raio R,
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
Explicação rápida: a densidade \rho é a carga total dividida pelo volume da esfera, e o volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi R^{3}. Portanto \rho tem unidades de carga por volume.

Passo 3

Recordando a lei de Gauss (em forma integral): a carga total Q_{\text{int}} contida dentro de uma superfície gaussiana qualquer está relacionada ao campo por
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Explicação didática: \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico pela superfície fechada; \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Para uma distribuição esfericamente simétrica e escolhendo uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na mesma origem, o campo tem direção radial e módulo constante sobre a superfície, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,dA e o lado esquerdo vira E(r)\,4\pi r^{2}.

Passo 4

Campo fora da esfera ( r\ge R). Aqui toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana, logo Q_{\text{int}}=Q. Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r),
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\qquad (r\ge R),
e a direção é radial para fora, então em forma vetorial
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\;\hat{r}\qquad (r\ge R).
Comentário prático: fora da esfera o campo é exatamente igual ao de uma carga pontual Q colocada na origem.

Passo 5

Campo dentro da esfera ( r<R). A carga encerrada pela superfície gaussiana de raio r é a carga do volume de raio r:
Q_{\text{int}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituindo \rho de antes,
Q_{\text{int}}=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Aplicando Gauss (mesmo raciocínio do Passo 4):
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Isolando E(r),
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\,r\qquad (r<R),
e em forma vetorial
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\,r\;\hat{r}\qquad (r<R).
Explicação: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r porque a carga eficaz contida cresce com r^{3} enquanto a área da superfície cresce com r^{2}, sobrando um fator proporcional a r.

Passo 6

Potencial fora da esfera ( r\ge R). A relação entre campo elétrico radial e potencial (escalar) é
E(r)=-\frac{dV}{dr}.
Com E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}} e a condição V(\infty)=0, integramos de \infty até r:
V(r)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'=-\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r'^{2}}\,dr'.
Fazendo a integral obtemos
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}\qquad (r\ge R).
Isso coincide com o potencial de uma carga pontual Q na origem.

Passo 7

Potencial dentro da esfera ( r<R). Podemos calcular usando continuidade do potencial em r=R e integrando o campo entre R e r. Primeiro o valor em R (usando fórmula externa):
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R}.
Agora, para r<R,
V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r} E(r')\,dr'=-\int_{R}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\,r'\,dr'.
Fazendo a integral:
V(r)-V(R)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\cdot\frac{r^{2}-R^{2}}{2}.
Portanto
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R}-\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\left(r^{2}-R^{2}\right).
Simplificando (colocando em forma mais compacta),
V(r)=\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\left(3R^{2}-r^{2}\right)\qquad (r<R).
Verificação rápida: em r=R isso dá V(R)=\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{3}}(3R^{2}-R^{2})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R}, que coincide com a expressão externa, garantindo continuidade do potencial.

Resposta

Campo para r<R: \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\,r\;\hat{r}.
Campo para r\ge R: \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\;\hat{r}.
Potencial para r<R: \displaystyle V(r)=\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\left(3R^{2}-r^{2}\right).
Potencial para r\ge R: \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}.

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