4-) Observe a sequência ( 1,1,2,3,3,1,1,2,3,3,1,1,2,3,3,1,1 \ldots ). Supondo que a lei de formação dessa sequência permaneça, determine o 380 e o 1490 termos.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
1,1,2,3,3,1,1,2,3,3,1,1,2,3,3,\dots
e pede o 380-ésimo e o 1490-ésimo termos. O conteúdo aqui é de sequências periódicas e cálculo de resto na divisão inteira (aritmética modular).

Passo 2

Observamos que a sequência repete o bloco de cinco termos
(1,1,2,3,3),
logo o período é 5. Para encontrar o n-ésimo termo a_n, basta calcular o resto r de n na divisão por 5:
r = n \bmod 5.
Em seguida:
  • se r=1 ou r=2, então a_n = 1;
  • se r=3, então a_n = 2;
  • se r=4 ou r=0, então a_n = 3.

Passo 3

Calculando os restos:
380 \bmod 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_{380} = 3,
1490 \bmod 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_{1490} = 3.

Resposta

a_{380}=3 e a_{1490}=3.

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