6-) Em uma sequência numérica, o primeiro termo é uma fração de numerador 1 e denominador 4. Os termos seguintes ao primeiro podem ser obtidos adicionando sempre uma unidade ao numerador e ao denominador da fração do termo imediatamente anterior.
a) Quais são os cinco primeiros termos dessa sequência?
b) Chamando o primeiro termo de a1, o segundo termo de a2, o terceiro de a3, e assim por diante, quanto é o termo a9?
c) Qual é o termo a54?
d) Como se pode determinar um termo an qualquer?

Passo 1

O enunciado define uma sequência de frações em que
– o primeiro termo é
a_1 = \frac{1}{4},
– e, para obter cada termo, adiciona-se uma unidade ao numerador e ao denominador do termo anterior.

Passo 2

Aplicando a regra de iteração para encontrar os cinco primeiros termos:
a_1 = \tfrac{1}{4}
a_2 = \tfrac{1+1}{4+1} = \tfrac{2}{5}
a_3 = \tfrac{2+1}{5+1} = \tfrac{3}{6}
a_4 = \tfrac{3+1}{6+1} = \tfrac{4}{7}
a_5 = \tfrac{4+1}{7+1} = \tfrac{5}{8}

Passo 3

Observando os numeradores e denominadores nota-se que, no n-ésimo termo, já foram adicionadas n-1 unidades a cada parte de \tfrac{1}{4}. Portanto
a_n \;=\;\frac{1+(n-1)}{4+(n-1)} \;=\;\frac{n}{n+3}.

Passo 4

Usando a fórmula geral a_n = \tfrac{n}{n+3}, calculamos
a_9 = \tfrac{9}{9+3} = \tfrac{9}{12} = \tfrac{3}{4}
a_{54} = \tfrac{54}{54+3} = \tfrac{54}{57} = \tfrac{18}{19}.

Passo 5

A expressão que dá qualquer termo a_n é
a_n = \frac{n}{n+3}.

Resposta

a) \tfrac{1}{4}, \tfrac{2}{5}, \tfrac{3}{6}, \tfrac{4}{7}, \tfrac{5}{8}.
b) a_9 = \tfrac{3}{4}.
c) a_{54} = \tfrac{18}{19}.
d) a_n = \tfrac{n}{n+3}.

Exercícios relacionados