Observe that 12 neq 14, but (12)^12=(14)^14. In this problem, we wish to show that there are infinitely many pairs of positive real numbers (alpha, beta) such that alpha^alpha=beta^beta.
Let f(x)=x^x. Find and classify all critical points of f, and give the intervals on which f is increasing/ decreasing.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a função $ f(x) = x^{x} $. O objetivo é encontrar todos os pontos críticos dessa função, classificá-los (se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão) e determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um ponto crítico ocorre onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Então, nosso primeiro passo é encontrar a primeira derivada de $ f(x) = x^{x} $.

Passo 3

Para encontrar a derivada de $ f(x) = x^{x} $, podemos reescrever a função usando logaritmos para facilitar a diferenciação. Vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
f(x) = x^x

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a $ x $. Lembre-se que $ f(x) = x^{x} $, então usando a regra da cadeia:
x
f(x) = x^x

Passo 5

Resolvendo para $ f’(x) $:
f'(x)

Passo 6

Agora que temos a derivada, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde $ f’(x) = 0 $ ou onde a derivada não existe. Observando a expressão de $ f’(x) $:
f'(x) = 0
Como $ x^{x} > 0 $ para $ x > 0 $, a única possibilidade é que $ \ln(x) + 1 = 0 $.

Passo 7

Resolvendo $ \ln(x) + 1 = 0 $:
ln(x) + 1 = 0
ln(x) = -1
Então, o ponto crítico ocorre em $ x = \frac{1}{e} $.

Passo 8

Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, podemos utilizar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada antes e depois de $ x = \frac{1}{e} $.
Vamos analisar o sinal de $ f’(x) $:
  • Para $ 0 < x < \frac{1}{e} $:
    $ \ln(x) + 1 < 0 $ → $ f’(x) < 0 $ → função decrescente.
  • Para $ x > \frac{1}{e} $:
    $ \ln(x) + 1 > 0 $ → $ f’(x) > 0 $ → função crescente.
Isso mostra que em $ x = \frac{1}{e} $ a função muda de decrescente para crescente, indicando um ponto de mínimo.

Passo 9

Por fim, resumindo os intervalos:
  • $ f(x) $ está decrescendo no intervalo $ \left(0, \frac{1}{e}\right) $.
  • $ f(x) $ está crescendo no intervalo $ \left(\frac{1}{e}, +\infty\right) $.

Resposta

A função $ f(x) = x^{x} $ possui um único ponto crítico em $ x = \frac{1}{e} $, que é um ponto de mínimo. Além disso, $ f(x) $ está decrescendo no intervalo $ \left(0, \frac{1}{e}\right) $ e crescendo no intervalo $ \left(\frac{1}{e}, +\infty\right) $.

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