Obtenha o ângulo que fornece o alcance máximo para uma dada velocidade inicial, se a resistência do ar puder ser ignorada.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo de lançamento \theta que maximiza o alcance de um projétil lançado com velocidade inicial \,v_{0}, desprezando a resistência do ar. O conteúdo aqui é o movimento balístico sob aceleração constante -g na vertical; vamos precisar da expressão do alcance em função de \theta.

Passo 2

Para um projétil lançado com velocidade inicial \,v_{0} no ângulo \theta em relação à horizontal, as componentes da velocidade são \,v_{0x}=v_{0}\cos\theta e \,v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
O tempo de voo até voltar ao mesmo nível de lançamento é
T=\frac{2\,v_{0y}}{g}=\frac{2\,v_{0}\sin\theta}{g}.
O alcance horizontal R é a velocidade horizontal vezes esse tempo, logo
R(\theta)=v_{0x}\,T =\bigl(v_{0}\cos\theta\bigr)\,\frac{2\,v_{0}\sin\theta}{g} =\frac{v_{0}^{2}}{g}\,\bigl(2\sin\theta\cos\theta\bigr) =\frac{v_{0}^{2}}{g}\,\sin(2\theta).

Passo 3

Para maximizar R(\theta)=\frac{v_{0}^{2}}{g}\sin(2\theta), note que \frac{v_{0}^{2}}{g} é constante, logo basta maximizar \sin(2\theta). Como \sin atinge seu valor máximo 1 quando o argumento é \tfrac{\pi}{2}, temos
2\theta=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}.
Em graus, \theta=45^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4} (ou 45^\circ).

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