Questão 3. ( \mathbf{2 , 5} pontos) Um cilindro muito longo de raio a possui densidade volumétrica de carga dada por \delta(r)=\delta_{0} \exp \left(-\rho^{2} / a^{2}\right) onde \delta_{0} é uma constante e \rho é a posição radiai. Calcule a intensidade do campo elétrico produzido (a) dentro e (b) fora do cilindro. (c) Trace o gráfico da intensidade do campo elétrico em função da distância radial. Considere d V=\rho d \rho d \theta d z.
\mathrm{O}_{\mathrm{Q}}

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro infinitamente longo de raio a com densidade volumétrica de carga
\delta(\rho)=\delta_{0}\exp\bigl(-\rho^{2}/a^{2}\bigr),
onde \rho é a coordenada radial em coordenadas cilíndricas. Precisamos usar a lei de Gauss para encontrar a intensidade do campo elétrico E(\rho) (a) dentro \rho<a e (b) fora \rho\ge a do cilindro, e (c) esboçar graficamente E em função de \rho.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, a superfície gaussiana ideal é um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L. A lei de Gauss diz
\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(\rho)\,\bigl(2\pi\,\rho\,L\bigr) = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}}.
Agora calculamos Q_{\rm int} para os dois casos.

Passo 3

Para \rho<a, o carregamento interno até \rho é
Q_{\rm int}(\rho) =\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\rho} \delta_{0}e^{-r^{2}/a^{2}}\;r\,dr\,d\theta\,dz =\delta_{0}\,2\pi\,L\, \frac{a^{2}}{2}\Bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\Bigr] =\delta_{0}\,\pi\,a^{2}\,L\bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\bigr].

Passo 4

Substituindo na lei de Gauss para \rho<a:
E(\rho)\,2\pi\,\rho\,L =\frac{\delta_{0}\,\pi\,a^{2}\,L\bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\bigr]}{\varepsilon_{0}} \;\Longrightarrow\; E(\rho) =\frac{\delta_{0}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho} \bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\bigr], \quad(\rho<a).

Passo 5

Para \rho\ge a, todo o carregamento está dentro do cilindro de raio a:
Q_{\rm tot} =Q_{\rm int}(a) =\delta_{0}\,\pi\,a^{2}\,L\bigl[1 - e^{-1}\bigr].
Então, pela lei de Gauss para \rho\ge a:
E(\rho)\,2\pi\,\rho\,L =\frac{\delta_{0}\,\pi\,a^{2}\,L\bigl[1 - e^{-1}\bigr]}{\varepsilon_{0}} \;\Longrightarrow\; E(\rho) =\frac{\delta_{0}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho} \bigl[1 - e^{-1}\bigr], \quad(\rho\ge a).

Passo 6

Resumo das expressões:
E(\rho)= \begin{cases} \dfrac{\delta_{0}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho}\bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\bigr], &\rho<a,\\[1em] \dfrac{\delta_{0}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho}\bigl[1 - e^{-1}\bigr], &\rho\ge a. \end{cases}
Note que E(0)=0 pois para pequenos \rho o fator \bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\bigr]\sim \rho^{2}/a^{2} e E\propto \rho. Para \rho<a, E cresce monotonamente até \rho=a, e para \rho\ge a decai como 1/\rho.]

Passo 7

O gráfico de E(\rho) versus \rho é contínuo em \rho=a, cresce quase linearmente em \rho\approx0, atinge o valor máximo em \rho=a, e depois cai assintoticamente como \rho^{-1}.

Resposta

(a) Para \rho<a:
E(\rho) =\frac{\delta_{0}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho} \bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\bigr].
(b) Para \rho\ge a:
E(\rho) =\frac{\delta_{0}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho} \bigl[1 - e^{-1}\bigr].
(c) Esboço qualitativo: E(\rho) parte de zero, cresce monotonamente até \rho=a, e depois decai como 1/\rho.

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