Questão 3. ( \mathbf{2 , 5} pontos) Um cilindro muito longo de raio a possui densidade volumétrica de carga dada por \delta(r)=\delta_{0} \exp \left(-\rho^{2} / a^{2}\right) onde \delta_{0} é uma constante e \rho é a posição radiai. Calcule a intensidade do campo elétrico produzido (a) dentro e (b) fora do cilindro. (c) Trace o gráfico da intensidade do campo elétrico em função da distância radial. Considere d V=\rho d \rho d \theta d z. \mathrm{O}_{\mathrm{Q}}
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro infinitamente longo de raio a com densidade volumétrica de carga
onde \rho é a coordenada radial em coordenadas cilíndricas. Precisamos usar a lei de Gauss para encontrar a intensidade do campo elétrico E(\rho) (a) dentro \rho<a e (b) fora \rho\ge a do cilindro, e (c) esboçar graficamente E em função de \rho.
Passo 2
Pela simetria cilíndrica, a superfície gaussiana ideal é um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L. A lei de Gauss diz
Note que E(0)=0 pois para pequenos \rho o fator \bigl[1 - e^{-\rho^{2}/a^{2}}\bigr]\sim \rho^{2}/a^{2} e E\propto \rho. Para \rho<a, E cresce monotonamente até \rho=a, e para \rho\ge a decai como 1/\rho.]
Passo 7
O gráfico de E(\rho) versus \rho é contínuo em \rho=a, cresce quase linearmente em \rho\approx0, atinge o valor máximo em \rho=a, e depois cai assintoticamente como \rho^{-1}.