Questão - 2. ( 2,5 pontos) Uma casca hemisférica de raio interno a e raio externo b tem uma densidade volumétrica de carga \rho. Determine a intensidade do campo elétrico no centro da base da casca. Resolva o problema por Lei de Coulomb. Considere d V=r^{2} \operatorname{sen}(\theta) d r d \theta d \varphi.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma casca hemisférica carregada, de raio interno a e raio externo b, com densidade volumétrica uniforme \rho. Queremos o campo elétrico no centro da base (que fica no plano z=0, origem do sistema). Vamos usar a Lei de Coulomb em coordenadas esféricas, sabendo que
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi
e que, pelo acoplamento axial, só a componente ao longo de z sobrevive.

Passo 2

Escrevendo o elemento de carga e o módulo de d\mathbf{E}:
dq = \rho\,dV = \rho\,r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{dq}{r^{2}} =\frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Só a componente z contribui. Como o vetor de campo em cada ponto aponta ao longo de -\hat z e faz ângulo \theta com o eixo z, o módulo da contribuição é
dE_{z}=dE\;\cos\theta =\frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\sin\theta\cos\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Agora integramos sobre \varphi\in[0,2\pi], \theta\in[0,\pi/2] e r\in[a,b]:
E_{z} =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{a}^{b} \frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\sin\theta\cos\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Fazendo as integrais independentes:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,\quad \int_{a}^{b}dr = b-a,\quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac12.
Logo
E_{z} =\frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}}\,(2\pi)\,(b-a)\,\frac12 =\frac{\rho\,(b-a)}{4\varepsilon_{0}}.

Passo 6

Como o campo resultante aponta no sentido -\hat z, temos
\mathbf{E} =-\,\frac{\rho\,(b-a)}{4\varepsilon_{0}}\;\hat z.

Resposta

\boxed{ \mathbf{E}(0,0,0) =-\,\frac{\rho\,(b-a)}{4\varepsilon_{0}}\;\hat z }.

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