- Obtenha a área total, o volume, a diagonal e a área lateral de um cubo de aresta 2 cm .
Passo 1
O enunciado dá um cubo cuja aresta vale
e pede quatro coisas: a área total, o volume, a diagonal e a área lateral.
Informações relevantes fornecidas:
(aresta do cubo).
Perguntas a responder, em ordem:
Informações relevantes fornecidas:
Perguntas a responder, em ordem:
- área total;
- volume;
- diagonal (a diagonal espacial que liga vértices opostos);
- área lateral (área das quatro faces laterais, sem contar topo e base).
Passo 2
Começo calculando a área de uma face quadrada do cubo.
Fórmula: a área de um quadrado de lado é
Fórmula: a área de um quadrado de lado
Aqui
é a área de uma face e
é a medida da aresta. Substituindo
temos
Explicação curta: cada face do cubo é um quadrado de lado
, então sua área é
multiplicado por
.
Passo 3
Agora a área total do cubo.
Raciocínio: um cubo tem 6 faces congruentes (todas com área ), portanto a área total é a soma das 6 áreas:
Raciocínio: um cubo tem 6 faces congruentes (todas com área
Substituindo
:
Interpretação: a área total é a soma das áreas das seis faces.
Passo 4
Área lateral do cubo.
Definição usada aqui: a área lateral é a soma das áreas das quatro faces laterais (excluem-se topo e base). Cada face tem área , então
Definição usada aqui: a área lateral é a soma das áreas das quatro faces laterais (excluem-se topo e base). Cada face tem área
Com
:
Observação: essa é a fórmula padrão para prismas retos com base quadrada; no caso do cubo, funciona igualmente.
Passo 5
Volume do cubo.
Fórmula: o volume de um cubo de aresta é
Fórmula: o volume de um cubo de aresta
Aqui
é o volume e
a aresta. Substituindo
:
Interpretação: o volume mede quantas unidades cúbicas cabem dentro do cubo.
Passo 6
Diagonal espacial do cubo (diagonal que liga vértices opostos).
Raciocínio usando Pitágoras em 3D: pegue um vértice e o vértice oposto; a diagonal pode ser obtida aplicando Pitágoras duas vezes ou observando que ela é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem
e a diagonal da face
. Fórmula direta:
Raciocínio usando Pitágoras em 3D: pegue um vértice e o vértice oposto; a diagonal
Derivação rápida:
, então
. Substituindo
:
Se quiser uma aproximação decimal, usando
, temos