- Num triângulo retângulo cujos catetos medem respectivamente 6 m e 8 m , a projeção do maior cateto sobre a hipotenusa mede, em m .
a) 6,4
b) 3,6
c) 10
d) 4,8
a) 6,4
b) 3,6
c) 10
d) 4,8
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos têm medidas
e
. Pede-se a medida, em metros, da projeção do maior cateto sobre a hipotenusa.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Catetos:
e (o maior é ). - Triângulo retângulo (há um ângulo de
). - Queremos a projeção do cateto de comprimento
sobre a hipotenusa.
Passo 2
Vou nomear os vértices para facilitar a explicação. Seja o triângulo
com
. Tome
e
. A hipotenusa é
. Seja
o pé da altura traçada de
sobre
. A projeção do cateto
sobre a hipotenusa é o segmento
. Agora precisamos encontrar
.
Passo 3
Primeiro encontramos a hipotenusa
usando o Teorema de Pitágoras. Vou explicar o teorema antes de usá-lo: o Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se os catetos são
e
e a hipotenusa é
, então
. Aqui
,
,
. Portanto:
Calculemos passo a passo:
Logo a hipotenusa tem comprimento
.
Passo 4
Agora vou explicar por que podemos usar a relação
. Considere os triângulos
(o triângulo original) e
(o triângulo formado pelo cateto
, a projeção
e a altura). Ambos são triângulos retângulos e compartilham o ângulo em
, portanto são semelhantes por ângulo-ângulo. Da semelhança dos triângulos
e
obtemos a relação entre lados correspondentes:
Essa igualdade vem de: lado correspondente ao pequeno cateto no triângulo menor é
, e ao lado correspondente no triângulo maior é
; o pequeno segmento correspondente à projeção é
. Isolando
obtemos a fórmula utilizada frequentemente para projeção de um cateto sobre a hipotenusa:
Aqui
é o cateto cuja projeção queremos (o maior,
) e
é a hipotenusa (já calculada como
).
Passo 5
Substituímos os valores na fórmula:
Calculando:
Lembre-se de que, em português, usamos vírgula para decimais, então escrevemos
.
Passo 6
Verificação rápida (cheque mental): a projeção de um cateto sobre a hipotenusa deve ser menor que o próprio cateto
e também menor que a hipotenusa
. O valor
faz sentido nesse contexto. Além disso, a outra projeção (do cateto
) seria
, e
, ou seja, as duas projeções somam a hipotenusa — isso confirma coerência.
Resposta
a)