1. Num triângulo retângulo cujos catetos medem respectivamente 6 m e 8 m , a projeção do maior cateto sobre a hipotenusa mede, em m .
    a) 6,4
    b) 3,6
    c) 10
    d) 4,8

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos têm medidas 6\\ \text{m} e 8\\ \text{m}. Pede-se a medida, em metros, da projeção do maior cateto sobre a hipotenusa.
Informações relevantes:
  • Catetos: 6 e 8 (o maior é 8).
  • Triângulo retângulo (há um ângulo de 90^\circ).
  • Queremos a projeção do cateto de comprimento 8 sobre a hipotenusa.

Passo 2

Vou nomear os vértices para facilitar a explicação. Seja o triângulo ABC com \angle C = 90^\circ. Tome AC = 6 e BC = 8. A hipotenusa é AB. Seja D o pé da altura traçada de C sobre AB. A projeção do cateto BC sobre a hipotenusa é o segmento BD. Agora precisamos encontrar BD.

Passo 3

Primeiro encontramos a hipotenusa AB usando o Teorema de Pitágoras. Vou explicar o teorema antes de usá-lo: o Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se os catetos são a e b e a hipotenusa é c, então \;c^2 = a^2 + b^2. Aqui a=6, b=8, c=AB. Portanto:
AB = \sqrt{6^2 + 8^2}.
Calculemos passo a passo:
6^2 = 36,\qquad 8^2 = 64,
36 + 64 = 100,
AB = \sqrt{100} = 10.
Logo a hipotenusa tem comprimento AB = 10.

Passo 4

Agora vou explicar por que podemos usar a relação \displaystyle BD=\frac{BC^2}{AB}. Considere os triângulos ABC (o triângulo original) e CBD (o triângulo formado pelo cateto BC, a projeção BD e a altura). Ambos são triângulos retângulos e compartilham o ângulo em B, portanto são semelhantes por ângulo-ângulo. Da semelhança dos triângulos CBD e ABC obtemos a relação entre lados correspondentes:
\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}.
Essa igualdade vem de: lado correspondente ao pequeno cateto no triângulo menor é BC, e ao lado correspondente no triângulo maior é AB; o pequeno segmento correspondente à projeção é BD. Isolando BD obtemos a fórmula utilizada frequentemente para projeção de um cateto sobre a hipotenusa:
BD = \frac{BC^2}{AB}.
Aqui BC é o cateto cuja projeção queremos (o maior, 8) e AB é a hipotenusa (já calculada como 10).

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula:
BD = \frac{BC^2}{AB} = \frac{8^2}{10}.
Calculando:
8^2 = 64,
BD = \frac{64}{10} = 6,4.
Lembre-se de que, em português, usamos vírgula para decimais, então escrevemos 6,4.

Passo 6

Verificação rápida (cheque mental): a projeção de um cateto sobre a hipotenusa deve ser menor que o próprio cateto 8 e também menor que a hipotenusa 10. O valor 6,4 faz sentido nesse contexto. Além disso, a outra projeção (do cateto 6) seria \dfrac{6^2}{10}=\dfrac{36}{10}=3,6, e 6,4+3,6=10, ou seja, as duas projeções somam a hipotenusa — isso confirma coerência.

Resposta

a) 6,4

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