Obtenha, caso existam, o valor dos determinantes das seguintes matrizes.
ccccc2 & 2 & -3 & -1 & 0 1 & 4 & 0 & 0 & 1 3 & 3 & -3 & -1 & -1 0 & 2 & -3 & -1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 e 3 A^-1.

Passo 1

Temos uma matriz Ain R^5times5 dada e queremos encontrar det(A), det(A^3) e det(3A^-1). Vamos usar operações de linha que não mudam o determinante, expansão de Laplace e as propriedades de determinantes para potências e escalares.

Passo 2

Aplicamos a operação de linha R2to R2-R5 (tipo 3, não altera o determinante). A segunda linha fica (0,3,0,0,0). Expandindo det(A) por Laplace na linha 2 só sobra o elemento 3 na coluna 2, logo
det(A)=3det(B),
onde removemos a linha 2 e a coluna 2, ficando
B= 2 & -3 & -1 & 0 3 & -3 & -1 & -1 0 & -3 & -1 & 0 1 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Para calcular det(B) expandimos por Laplace na quarta linha ( (1,0,0,1)):
det(B)=-det(M4,1)+det(M4,4)
Verificamos que M4,1 tem duas linhas iguais, então det(M4,1)=0, e o cálculo direto de det(M4,4) também dá 0. Assim det(B)=0 e
det(A)=3cdot0=0

Passo 4

Como det(A)=0, aplicando a propriedade de determinantes para potências,
det(A^3)=(det(A))^3=0^3=0

Passo 5

Como det(A)=0, a matriz A é singular e não admite inversa. Portanto não existe A^-1 e, consequentemente, não existe det(3A^-1).

Resposta

det(A)=0, det(A^3)=0 e como A^-1 não existe, não há det(3A^-1).

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