Obtenha, caso existam, o valor dos determinantes das seguintes matrizes.
cccc1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & -1 1 & 2 & 2 & 3 0 & 1 & 1 & 2 e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de
A=
1 & 2 & 1 & 30 & 1 & 1 & -11 & 2 & 2 & 30 & 1 & 1 & 2
e também o determinante de A(-2I + A^{-1}).
O conteúdo principal é cálculo de determinantes por eliminação de Gauss e uso da propriedade det(AB)=det Adet B.

Passo 2

Para achar det A aplico eliminação de Gauss mantida por operações de linha sem trocar linhas nem escalar por constantes fora de 1. Começo com
A=1 & 2 & 1 & 30 & 1 & 1 & -11 & 2 & 2 & 30 & 1 & 1 & 2
Faço R3←R3−R1 e R4←R4−R2, obtendo a forma triangular
1 & 2 & 1 & 30 & 1 & 1 & -10 & 0 & 1 & 00 & 0 & 0 & 3
Como o determinante de uma triangular é o produto dos pivôs,
det A = 1cdot1cdot1cdot3 = 3

Passo 3

Para A(-2I + A^-1) uso a identidade AA^-1=I:
A(-2I + A^-1) = -2A + AA^-1 = -2A + I
Assim só precisamos de det(-2A+I).

Passo 4

Calculo primeiro a matriz
-2A + I = -1 & -4 & -2 & -60 & -1 & -2 & 2-2 & -4 & -4+1 & -60 & -2 & -2 & -4+1 =-1 & -4 & -2 & -60 & -1 & -2 & 2-2 & -4 & -3 & -60 & -2 & -2 & -3
Em seguida faço eliminação de Gauss sem trocar linhas nem escalar por constantes:
  • R3←R3−2R1 → R3=(0,4,1,6)
  • R4←R4−2R2 → R4=(0,0,2,−7)
  • R3←R3+4R2 → R3=(0,0,−7,14)
  • R4←R4+(2/7)R3 → R4=(0,0,0,−3)
    Fica triangular com pivôs −1, −1, −7 e −3. Logo,
det(-2A+I)=(-1)cdot(-1)cdot(-7)cdot(-3)=21

Resposta

det A = 3 e detl(A(-2I + A^-1)r) = 21.

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