Usando a expansão de Laplace, expresse os determinantes das matrizes n times n abaixo em função de apenas um determinante de matriz (n-1) times(n-1), como o determinate de uma matriz triangular, encontrando seu valores
ccc-1 & 2 & 2 1 & 3 & 2 1 & 2 & 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3×3
A=-1 & 2 & 21 & 3 & 21 & 2 & 2
usando a expansão de Laplace. Vamos precisar conhecer o conceito de menor (submatriz obtida ao retirar uma linha e uma coluna) e cofator (menor vezes um sinal (-1)^i+j).

Passo 2

Escolhemos expandir pela primeira linha. A fórmula da expansão de Laplace é
det(A)=sumj=1^3 a1j(-1)^1+jdet(M1j),
onde M1j é a matriz que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Para j=1, temos a11=-1 e
M11=3 & 22 & 2
O determinante desse menor, que é triangular superior depois de trocar colunas (ou simplesmente calcular), é
det(M11)=3cdot2-2cdot2=6-4=2

Passo 4

Para j=2, temos a12=2 e
M12=1 & 21 & 2
Como as duas linhas são iguais, seu determinante é
det(M12)=1cdot2-2cdot1=2-2=0

Passo 5

Para j=3, temos a13=2 e
M13=1 & 31 & 2
Calculando seu determinante:
det(M13)=1cdot2-3cdot1=2-3=-1

Passo 6

Agora juntamos tudo na expansão:
det(A)=(-1),(-1)^1+1,2;+ 2,(-1)^1+2,0;+ 2,(-1)^1+3,(-1)
Os sinais são (-1)^2=1, (-1)^3=-1 e (-1)^4=1. Logo:
det(A)=(-1)cdot1cdot2+2cdot(-1)cdot0+2cdot1cdot(-1)=-2+0-2=-4

Resposta

-4

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