Obtenha e classifique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função de duas variáveis:
. O objetivo é encontrar e classificar os pontos críticos dessa função, ou seja, identificar onde a função tem máximos ou mínimos e dizer se eles são globais ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
Para a derivada parcial em relação a
:
Para a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Primeiro, resolvemos
. Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro.
Passo 4
Com
, podemos substituir na primeira equação para encontrar
:
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Portanto, os pontos críticos são de forma
, onde
é um número inteiro. Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 6
Para classificar os pontos críticos, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Substituindo nos pontos críticos
:
Portanto,
Passo 8
Quando o discriminante
, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo local. Como essa situação ocorre para todos os valores de
, concluímos que todos os pontos críticos
são pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função
são da forma
para todo número inteiro
. Todos esses pontos são pontos de sela e, portanto, não apresentam máximos ou mínimos globais.