Obtenha e classifique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
f(x, y)=x+y sen x

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função de duas variáveis: . O objetivo é encontrar e classificar os pontos críticos dessa função, ou seja, identificar onde a função tem máximos ou mínimos e dizer se eles são globais ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a fx = partial fpartial x = 1 + y cos x e fy = partial fpartial y = sin x são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
Para a derivada parcial em relação a :
Para a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Primeiro, resolvemos . Sabemos que quando , onde é um número inteiro.

Passo 4

Com 1 + y cos(npi) = 0 , podemos substituir na primeira equação para encontrar 1 + y (-1)^n = 0 implies y (-1)^n = -1 implies y = -1(-1)^n = (-1)^n+1 :
Sabendo que , temos:

Passo 5

Portanto, os pontos críticos são de forma , onde é um número inteiro. Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 6

Para classificar os pontos críticos, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -y sin x
fxy = partial^2 fpartial x partial y = cos x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0
O discriminante D = fxx fyy - (fxy)^2 é dado por:

Passo 7

Substituindo nos pontos críticos fxx = -(-1)^n+1 sin(npi) = 0 (já que sin(npi) = 0) :
fxy = cos(npi) = (-1)^n á
fyy = 0
D = (0)(0) - [(-1)^n]^2 = -1
Portanto,

Passo 8

Quando o discriminante , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo local. Como essa situação ocorre para todos os valores de , concluímos que todos os pontos críticos são pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são da forma para todo número inteiro . Todos esses pontos são pontos de sela e, portanto, não apresentam máximos ou mínimos globais.

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