O lucro de uma loja foi determinado como sendo L(x, y)=1400-(12-x)^2-(40-y)^2. Quais os valores de x e y que o maximizam?

Passo 1

Temos a função lucro L(x,y)=1400-(12-x)^2-(40-y)^2 O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis e vamos precisar encontrar o ponto crítico via derivadas parciais ou observar que o máximo ocorre quando as parcelas quadráticas são nulas.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais e igualar a zero:
partial Lpartial x=ddxl(1400-(12-x)^2-(40-y)^2r)=2(12-x),
igualando a zero vem 2(12-x)=0 e, portanto, x=12.
De modo análogo,
partial Lpartial y=2(40-y)=0
implica y=40.

Passo 3

Para ver que esse ponto é realmente o máximo, note que (12-x)^2 e (40-y)^2 são sempre maiores ou iguais a zero. Portanto L(x,y)<=1400, alcançando 1400 exatamente quando (12-x)^2=0 e (40-y)^2=0, ou seja, em x=12 e y=40.

Resposta

x = 12 e y = 40

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