Seja G um grupo de ordem 35. Mostre que qualquer subgrupo não-trivial de G tem ordem 5 ou 7.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que em um grupo finito G de ordem 35 todo subgrupo não trivial (ou seja, além de e e G todo) só pode ter ordem 5 ou 7. Vamos usar o Teorema de Lagrange para isso.

Passo 2

O Teorema de Lagrange diz que, se H é subgrupo de G, então o tamanho de H divide o tamanho de G. Em símbolos, |H| divide |G|. Como |G|=35, os divisores positivos de 35 são
1,;5,;7,;35

Passo 3

Se H é subgrupo não trivial, isso elimina a possibilidade |H|=1 (o subgrupo trivial) e |H|=35 (que seria o próprio G). Logo só restam as ordens 5 ou 7.

Resposta

Qualquer subgrupo não trivial de G tem ordem 5 ou 7.

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