Seja
um grupo de ordem 35. Mostre que qualquer subgrupo não-trivial de
tem ordem 5 ou 7.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que em um grupo finito
de ordem 35 todo subgrupo não trivial (ou seja, além de
e
todo) só pode ter ordem 5 ou 7. Vamos usar o Teorema de Lagrange para isso.
Passo 2
O Teorema de Lagrange diz que, se
é subgrupo de
, então o tamanho de
divide o tamanho de
. Em símbolos,
divide
. Como
, os divisores positivos de 35 são
Passo 3
Se
é subgrupo não trivial, isso elimina a possibilidade
(o subgrupo trivial) e
(que seria o próprio
). Logo só restam as ordens 5 ou 7.
Resposta
Qualquer subgrupo não trivial de
tem ordem 5 ou 7.