Seja a in G, com G finito e |G|=28. Prove que a ordem de a pode ser apenas um divisor de 28.

Passo 1

Temos um grupo finito G com |G|=28 e um elemento ain G. A questão pede para mostrar que a ordem de a, denotada ord(a), só pode ser um divisor de 28. Vamos usar teoria de subgrupos e o Teorema de Lagrange.

Passo 2

Lembrando que a ordem de a é o número de elementos do subgrupo gerado por a, isto é, lang<= arang<==a^n: ninZ. Primeiro, verificamos rapidamente que lang<= arang<= é de fato um subgrupo de G: contém a identidade e=a^0, é fechado (produto e inverso de potências de a continuam sendo potências de a) e herda associatividade de G.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Lagrange, que diz que em qualquer grupo finito o número de elementos de um subgrupo divide o número de elementos do grupo ambienta. Assim,
Concluímos que
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