Seja
, com
finito e
. Prove que a ordem de
pode ser apenas um divisor de 28.
Passo 1
Temos um grupo finito
com
e um elemento
. A questão pede para mostrar que a ordem de
, denotada
, só pode ser um divisor de 28. Vamos usar teoria de subgrupos e o Teorema de Lagrange.
Passo 2
Lembrando que a ordem de
é o número de elementos do subgrupo gerado por
, isto é,
. Primeiro, verificamos rapidamente que
é de fato um subgrupo de
: contém a identidade
, é fechado (produto e inverso de potências de
continuam sendo potências de
) e herda associatividade de
.
Passo 3
Aplicamos o Teorema de Lagrange, que diz que em qualquer grupo finito o número de elementos de um subgrupo divide o número de elementos do grupo ambienta. Assim,
Concluímos que
final_answer
Concluímos que
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