Obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e dos meios seja 77.

Passo 1

O problema pede uma progressão aritmética (P.A.) de quatro termos crescentes, digamos
a,;a+d,;a+2d,;a+3d,
com d>0, de modo que o produto dos extremos seja 45 e o produto dos dois termos do meio seja 77.

Passo 2

Traduzindo em equações temos
a,(a+3d)=45
e
(a+d)(a+2d)=77
Expandindo a primeira:
a^2+3ad=45,
e a segunda:
a^2+3ad+2d^2=77

Passo 3

Subtraindo a primeira da segunda equação elimina a^2+3ad:
(a^2+3ad+2d^2)-(a^2+3ad)=77-45
2d^2=32
Logo
d^2=16 Longrightarrow d=4(pois a PA é crescente) é

Passo 4

Agora voltamos à equação a^2+3ad=45 com d=4:
a^2+12a-45=0
Pela fórmula de Bhaskara,
a=-12pmraiz12^2+4cdot452 =-12pmraiz144+1802 =-12pm182,
portanto
a=3 ou a=-15

Passo 5

Com d=4 e a=3 obtemos a P.A. de termos positivos
3,;7,;11,;15
A outra solução seria
-15,;-11,;-7,;-3,
que também é crescente. Mas usualmente escolhe-se a de termos positivos.

Resposta

A P.A. crescente é
3,;7,;11,;15

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